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Injectivité et continuité

Posté par
Nijiro
27-10-20 à 11:17

Bonjour,

Soit f une fonction continue sur [0;1] et à valeurs dans [0;1]. On suppose que:
(x[0;1]) fof(x)=x et f(0)=0
1. Montrer que f est injective.
2. Montrer que f est strictement monotone sur [0;1].
3. En déduire que f est strictement croissante sur [0;1], puis que (x[0;1]) f(x)=x.

Merci d'avance^^.

Posté par
Nijiro
re : Injectivité et continuité 27-10-20 à 11:22

Pour 1:
\text{f est injective}\Leftrightarrow (f(x)=f(x')\Rightarrow x=x')

Soit x et x' deux éléments de [0;1] tels que xx'.
On suppose que f(x)=f(x') fof(x)=fof(x')
D'ailleurs: fof(x)=x et fof(x')=x' alors: fof(x)=fof(x') x=x' or xx' (absurde)
Donc f est injective.

Posté par
Nijiro
re : Injectivité et continuité 27-10-20 à 11:29

Pour 2:
Je voulais appliquer le TVI mais f ne change pas de signe dans [0;1]; (l'image de 0 par f est 0, et 0 est le premier élément de l'intervalle de départ. De plus f est injective, donc 0 est la seule solution de l'équation f(x)=0, autrement dit: f gardera un seul signe dans [0;1] )

Posté par
Nijiro
re : Injectivité et continuité 27-10-20 à 11:36

D'ailleurs une application injective est évidemment strictement monotone.  Si f change de monotonie sur [0;1], il se montra clairement dans le graphe de f qu'au moins un y de l'ensemble d'arrivée admet au moins un antécédant dans l'ensemble de départ ( pourrait être 2 ou plus). Par la suite f n'est pas injective...

Posté par
carpediem
re : Injectivité et continuité 27-10-20 à 11:48

salut

c'est bien maladroit : tu écris tout ce qui vient à partir de la définition sans articuation de la pense

soit x et y deux éléments de [0, 1]

f(x) = f(y) => f o f(x) = f o f(y) [par définition d'une fonction : a = b => f(a) = f(b)]

or f o f (x ) =x et f o f (y) = y donc x= y

par conséquent f(x) = f(y) => x = y et f est injective ...

2/ f est injective et continue donc f est strictement monotone

Posté par
Nijiro
re : Injectivité et continuité 27-10-20 à 12:07

Salut, merci pour la réponse.
Pour 1, c'est compris. Merci ^^.
Pour 2, on n'a pas encore vu en classe la proposition de la caractérisation de l'injectivité d'une fonction continue sur un intervalle. L'exercice nous rapproche ou plutôt nous dirige (si le mot est bien choisi) pour prouver qu'une fonction injective et continue est strictement monotone.

Posté par
Nijiro
re : Injectivité et continuité 17-11-20 à 16:08

Salut,
Pour 2:

\text{ f est injective }\Leftrightarrow (x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y))
x\neq y\Leftrightarrow x<y \text{ ou } x>y
x<y\Rightarrow f(x)>f(y) \text{ ou } f(x)<f(y) \text{idem pour } x>y
De plus, f est continue, alors f est strictement monotone.

Pour 3:
f est continue et strictement monotone sur [0;1] alors, soit pour tout x de [0;1] f(x)<f(0) (f est strictement décroissante) soit pour tout x de [0;1] f(x)>f(0) (f est strictement croissante).
on a f(x)[0;1], donc f(x)>0f(x)>f(0) alors f est strictement croissante sur [0;1].
Mais je n'arrive pas à démontrer que f(x)=x pour tout x de [0;1]...

Posté par
carpediem
re : Injectivité et continuité 17-11-20 à 20:07

je ne vois pas en quoi la continuité de f te permet de conclure ...

je propose plutôt :

soit a le plus grand intervalle tel que f est croissante sur [0, a]

soit b > a tel que f(b) < f(a)  (supposons qu'il existe b tel que ...) donc f(b) [0, f(a)]

or f est continue donc d'après le TVI il existe c [0, a] tel que f(c) = f(b)

donc c'est contradictoire car f est injective

donc a = 1

donc f est monotone (et strictement monotone car injective)

même raisonnement si on suppose f décroissante sur [0, a]

...

Posté par
Nijiro
re : Injectivité et continuité 18-11-20 à 11:31

Bonjour,
D'accord, c'est compris.
Mais que dire à propos de la dernière question: Montrer que pour tout x de [0,1] f(x)=x??

Posté par
Nijiro
re : Injectivité et continuité 18-11-20 à 11:42

Soit a un élément de [0;1].
on distingue 3 cas: f(a)>a,  f(a)<a et f(a)=a.

1er cas: si f(a)>a alors f(f(a))>f(a) car f est strictement croissante. Donc f(f(a))-f(a)>0; d'ailleurs: fof(a)=a donc a-f(a)>0 c-à-d: f(a)<a or f(a)>a. (absurde)

2ème cas: si f(a)<a alors f(f(a))<f(a) car f est strictement croissante. Donc f(f(a))-f(a)<0;
d'ailleurs: fof(a)=a donc a-f(a)<0 c-à-d: f(a)>a or f(a)<a . (absurde)

3ème cas: si f(a)=a alors f(f(a))=f(a) c-à-d f(f(a))-f(a)=0 donc a-f(a)=0 d'où f(a)=a.

Finalement: f(a)=a avec a[0;1].
Donc (x[0;1]) f(x)=x

Posté par
Nijiro
re : Injectivité et continuité 18-11-20 à 13:31

Je pense que d'après les résultats obtenus des deux cas 1 et 2, on peut déduire que f(a)=a.
Et la différence dans les deux cas 1 et 2  n'a pas d'utilité, je peux remplacer fof(a) par a directement.

Posté par
carpediem
re : Injectivité et continuité 18-11-20 à 15:21

à nouveau je ne comprends pas trop ce que tu fais ... ou c'est peut-être maladroit ...

de f(0) = 0 alors on déduit que f est croissante (car f monotone et à valeur dans [0, 1])

si f(x) x alors f o f(x) = x f(x) donc f(x) = x

si f(x) x alors f o f (x) = x f(x) donc f(x) = x

en fait c'est un peu ce que tu dis mais tu ne vas pas au bout de ton raisonnement !! et de façon plus clair !!

et il faut travailler avec des inégalités larges pour conclure dans chaque cas à une égalité (plutôt qu'une absurdité artificielle)

Posté par
Nijiro
re : Injectivité et continuité 19-11-20 à 14:00

Salut,
C'est compris. Merci énormément [bcarpediem[/b]!! ^_^.

Posté par
carpediem
re : Injectivité et continuité 19-11-20 à 14:10

de rien

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