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intégral !

Posté par benJ (invité) 16-05-05 à 08:56

bonjour tout le monde ! j'aurais besoin d'un gros coup de main pour cet exercice ! merci

On considère la fonction F définie sur [1, +[ par F(x)= (exposant x)(indice 1) f(t)dt.

1 a. Montrer que F est dérivable sur [1,+[ et calculer F'(x).

b. En déduire le sens de variation de F

2 a. Démontrer que, pour tout réel positif t, t+222t.

b. En déduire que, pour tout x de [1,+[, F(x)1/(22)(exposant x) (indice 1)(t+2)e1-tdt

c. A l'aide d'une intégration par parties montrer que pour tout x de [1,+[, )(exposant x) (indice 1)(t+2)e1-tdt = 4- (x+3)e1-t.

d. En déduireque pour tout x de [1, +[, 0F(x)2.

3. On note pour tout entier naturel n non nul, Sn la somme des n-1 premiers termes de la suite (Un). Exprimer Sn a l'aide d'une intégrale. Montrer que la suite (Sn) converge et donner un encadremment de sa limite

merci de votre aide

Posté par Zenon (invité)re : intégral ! 16-05-05 à 10:43

Salut !

J'ai butté une seconde avant de comprendre ton intégrale...
Je crois que "indice" et "exposant" ne sont vraiment pas appropriés dans "F(x)=\int(exposant x indice 1". Il vaut mieux mettre, "F(x)=\int_1^{x}" ou encore "F(x)=\int de 1 à x"

Pour le reste...

1- Soit G(x) une primitive de f
F(x) = G(x) - G(1) et G est dérivable puisque c'est une primitive de f
Tu as alors : F'(x) = G'(x) + 0 (dérivée d'une constante = 0)
puis F'(x) = f(x)

2-Pour le reste, tu sais continuer ? Si tu n'y parviens pas, j'essairai de t'expliquer si tu veux...

Bon courage !

WS

Posté par benJ (invité)re : intégral ! 16-05-05 à 11:04

oué désolé pour l'intégrale ...

alors la 1.b c'est bon, merci de ton aide, si tu peux m'expliquer avec le plus de détails possible, ce serait bien, car je suis en train de bosser pour le bac et les intégrales, je comprends pas trop !! je te remercie beaucoup !

Posté par Zenon (invité)re : intégral ! 16-05-05 à 12:26

Salut !

Alors, pour la 2a-, tu sais que :
(\sqrt{t}-\sqrt{2})^2 >= 0
donc, en dévellopant, tu as :
t-2\sqrt{2}\sqrt{t}+2 >= 0
et donc tu as bien :
t+2 >= 2\sqrt{2}\sqrt{t}
Ca n'est vrai que si t est positif, parce que la racine carré d'un terme négatif, spa cool...

Pour la suite, t'as pas l'expression de f quelque part, sinon j'suis pas certain qu'on puisse montrer ce que tu me demandes !

BOn courage avec ca, si tu trouves une expression de f, n'hésite pas à me la donner ! J'essairai de voirpour la suite !

WS

Posté par benJ (invité)re : intégral ! 16-05-05 à 14:30

Si je dis pas de bêtise, f(x) = x e1-x

encore merci

Posté par benJ (invité)re : intégral ! 16-05-05 à 16:00

svp quelqu'un peu m'aider ?

Posté par benJ (invité)re : intégral ! 16-05-05 à 17:31

je ne comprends pas trop les intégrales !!svp aidez moi !

Posté par benJ (invité)re : intégral ! 16-05-05 à 21:43

WS stp un coup de main !!

Posté par Zenon (invité)re : intégral ! 16-05-05 à 22:03

Bonsoir !

Désolé, j'étais pas chez moi cet aprèm.

2b-
tu as t+2 >= 2\sqrt{2}\sqrt{t}
donc tu as aussi, si t est positif :
(t+2)/(2\sqrt{2}) >= \sqrt{t}

tu as donc (t+2)/(2\sqrt{2})e^{1-t} >= \sqrt{t}e^{1-t}
puis \int_1^{x} (t+2)/(2\sqrt{2})e^{1-t} dt >= \int_1^{x} \sqrt{t}e^{1-t} dt
et enfin F(x)<= 1/(2\sqrt{2})\times\int_1^{x} (t+2)e^{1-t} dt

2c-
Tu intègres par parties en dérivant (t+2) et en intégrant e^{1-t}
Tu trouves le resultat directement... enfin, tout avec des x bien sur, il ne doit pas te rester de t à la fin (ce qui est le cas dans ton énoncé !)

2d-
Ben, F(x)>=0 c'est normal puisque tu intègres une fonction positive.
Pour montrer que F(x)<=\sqrt{2} :
tu as F(x)<= 1/(2\sqrt{2})\times\int_1^{x} (t+2)e^{1-t} dt
donc F(x)<= 1/(2\sqrt{2})\times(4-(x+3)*e^{1-x})<=1/(2\sqrt{2})\times(4)=\sqrt{2}

3- Et bien, je suppose que Sn c'est la somme de (n-1) premiers termes de la suite Un et que cette suite, c'est Un=f(n+1) ou un truc dans le genre. La tu dis :
0<=Sn puisque on ne somme que des termes positifs.
Sn<=\int_1^{n} f(t) dt <= \sqrt{2}
voilà.

Bon courage !

Si t'as un problème, n'hésite pas surtout, mais j'ai pas dit que j'y répondrais ce soir, j'ai un concours demain et j'tiens pas trop à me coucher tard !

WS

Posté par benJ (invité)re : intégral ! 16-05-05 à 22:05

merci beaucoup !! juste pourrais tu me développer la 2c ! encore mille fois merci

Posté par benJ (invité)re : intégral ! 16-05-05 à 22:05

au fait tu passes un concours pour quoi ?

Posté par Zenon (invité)re : intégral ! 16-05-05 à 22:53

Bon, alors... J'vais faire comme si, pendant les deux minutes qui séparent mon dernier message et le tien, tu avais réellement essayé l'intégration par parties, mais que tu n'avais pas réussi... (essaie au moins seul, sinon tu n'y parviendras pas la prochaine fois !)

On cherche \int_1^{x} (t+2)e^{1-t} dt
On pose u(t)=(t+2), v(t)=-e^{1-t}
On a v'(t)=e^{1-t} , u'(t)=1

l'intégration par parties donne :
\int_1^{x} (t+2)e^{1-t} dt=\int_1^{x} u(t)*v'(t) dt=[u(t)*v(t)](entre 1 et x) - \int_1^{x} u'(t)*v(t) dt
puis \int_1^{x} (t+2)e^{1-t} dt=[(t+2)*(-e^(1-t))[tex]](entre 1 et x) - [tex]\int_1^{x} -e^{1-t} dt
d'ou \int_1^{x} (t+2)e^{1-t} dt=-(x+2)*e^{1-x} + 3 - e^{1-x} + 1 = 4 - (x+3)e^{1-x}

voili voilou

WS

Posté par Zenon (invité)re : intégral ! 16-05-05 à 22:56

Et pour les concours....

Ben, j'sais pas si tu connais... J'suis en prépa, en maths spé si tu en as déjà entendu parler, en MP* si tu es même au courant des différentes filières...

J'ai passé Centrale, Les Mines, les ENSI, Polytechnique et là je passe les ENS (écoles normales supérieures). J'pense pas que ca te dise grand chose, mais si ca t'interesse (on ne sait jamais) n'hésite pas à me demander !

WS

Posté par Zenon (invité)re : intégral ! 17-05-05 à 15:36

Mince, j'avais pas vu que j'avais fait une erreur en latex... Désolé.

je recommence donc :
l'intégration par parties donne :
\int_1^{x} (t+2)e^{1-t} dt=\int_1^{x} u(t)*v'(t) dt=[u(t)*v(t)](entre 1 et x) - \int_1^{x} u'(t)*v(t) dt
puis \int_1^{x} (t+2)e^{1-t} dt=[(t+2)(-e^{1-t})](entre 1 et x) - \int_1^{x} -e^{1-t} dt
d'ou \int_1^{x} (t+2)e^{1-t} dt=-(x+2)*e^{1-x} + 3 - e^{1-x} + 1 = 4 - (x+3)e^{1-x}

Désolé pour l'erreur qui rend mon expression précédente illisible.

J'espère que cela te permet de comprendre un peu mieux !

WS


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