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integral et encadrement

Posté par
aya4545 04-03-22 à 22:01

bonjour
priere m aider pour terminer cet exercice
f(x)=\frac{\ln (1+x)}{x} \quad x>0 f(0)=1
1)montrez que \forall n \in \N \quad \forall x\ge 0 \quad : \frac{1}{1+x}=\sum\limits_{\substack{k=0 }}^{n}{{(-1)^k x^{k}}+ \frac{(-1)^{n+1} x^{n+1}}{1+x}
2) montrer que \forall n \in \N \quad \forall x\ge 0 \quad : \ln(1+x)=\sum\limits_{\substack{k=0 }}^{n}{\frac{(-1)^k x^{k+1}}{k+1}}+\int_{0}^{x} \frac{(-1)^{n+1} t^{n+1}}{1+t}dt
3) justifier que \forall n \in \N \quad \forall x\ge 0 \quad  0\le \int_{0}^{x} \frac{ t^{n+1}}{1+t}dt\le \frac{x^{n+2}}{n+2}
4) en deduire \forall n \in \N |\int_{0}^{1}f(t)dt-\sum\limits_{\substack{k=0 }}^{n}{\frac{(-1)^k}{(k+1)^2}}|\le \frac{1}{(n+2)^2}et donner une valeur approchée de \int_{0}^{1}f(t)dt à \frac{1}{25}
je suis bloquée dans la premiere partie de4) et merci

Posté par
carpediemre : integral et encadrement 04-03-22 à 22:17

salut

ben il suffit de prendre x = 1 dans 3 / puis de majorer avec l'égalité 2/ ...

Posté par
larrechre : integral et encadrement 04-03-22 à 22:18

Bonsoir,

Dans l'égalité démontrée en 2/, tu peux faire apparaître f en divisant par x (supposé non nul).  Tu peux ensuite intégrer cette nouvelle égalité de 0 à 1 et utiliser 3/

Posté par
aya4545re : integral et encadrement 04-03-22 à 22:41

merci carpediem mercilarrech
pour la valeur approchée \int_{0}^{1}f(t)dt on prend n=3 ce qui donne \frac{115}{144} et bonne nuit


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