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Niveau terminale
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Intégrale 4

Posté par
FerreSucre 03-02-20 à 16:34

Salut, bon bah comme d?hab vous auriez pas une petite intégrale sympa ?
Merci

Posté par
lakere : Intégrale 03-02-20 à 17:24

Bonjour,

Tu ne fatigues jamais ?

Calculer \begin{aligned} \int_{0}^{1}{\frac{x^2\,\text{e}^{ \arctan\,x}}{\sqrt{1+x^2}}dx}\end{aligned}

Il est inutile de chercher immédiatement une primitive (bien qu'elle existe!)

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 04-02-20 à 10:00

Je me doute bien ! Dis moi juste comme ça ce genre d'intégrale à la « lake » ça correspond à quoi comme niveau d'étude ? Juste du 1er année ? C'est la même difficulté que l'autre avec cosnx/5-4cosx,(0.pi) ?

Posté par
lakere : Intégrale 4 04-02-20 à 10:16

Ce n'est pas le même genre que l'autre. Difficulté?

Dès qu'on connait 1) la technique du changement de variable 2) la technique de l'intégration par parties, on va dire que c'est ... faisable.

Mais pas facile...

Je te rappelle que tu avais commencé comme ceci.

  

Citation :
avez vous des intégrales un peu difficile que je pourrais tenter ou résoudre ?


Tu es servi

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 04-02-20 à 10:25

Ouais ouais, j'ai été peu être trop servi mdr.

Posté par
lakere : Intégrale 4 04-02-20 à 10:35

A vrai dire, sans indications, celle ci n'est pas donnée. On va décomposer un peu:

Soit A=\begin{aligned} \int_{0}^{1}{\frac{x^2\,\text{e}^{ \arctan\,x}}{\sqrt{1+x^2}}dx}\qquad B=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{e^x}{\cos^3x}\text{ d}x\qquad C=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{e^x}{\cos\,x}\text{ d}x\end{aligned}

1) Montrer que A=B-C

2) A l'aide de plusieurs intégrations par parties montrer que 2B=2C+1 et en déduire A

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 04-02-20 à 10:35

Rassure moi faut pas utiliser argsh(x) ?
parce que Je connais pas cette fonction mdr
Je voulais dire ce genre d'intégrale on les voit à quel niveau d'étude ? 1er année ?

Posté par
lakere : Intégrale 4 04-02-20 à 10:39

Regarde 10h35.

Non non pas de fonctions hyperboliques.

Celle ci a été donnée en exercice en Terminale (mais probablement au Maroc ou en Algérie) où le niveau n'a rien à voir avec celui des terminales françaises.

Posté par
lakere : Intégrale 4 04-02-20 à 10:40

Je dois quitter

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 04-02-20 à 10:49

Ah ouais ça deconne pas ça en terminale... au maroc mdr rien que nous en terminale on voit pas les changements de variables non ?

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 04-02-20 à 11:30

bon bah je l'ai c'est bon ça va jusqu'ici,

A = B-C
\int_{0}^{\pi/4}{\dfrac{e^x-cos²xe^x}{cos^3(x)}dx}

On utilise le changement de variable :
u = tanx
dx = cos²(x)du = \dfrac{1}{u² +1}du
On calcule les bornes aussi, 0 et 1
Soit on a :

\int_{0}^{1}{\dfrac{cos² [(u²+1)e^{arctan(u)}-e^{arctan(u)}]}{cos^3x}*cos²x}du

\int_{0}^{1}{cosx*[u² e^{arctan(u)}]du

Or : cosx = \sqrt{\dfrac{1}{u²+1}}
Soit cosx = \dfrac{1}{\sqrt{u²+1}}

Donc :

A = B-C = \int_{0}^{1}{\dfrac{u² e^{arctan(u)}}{\sqrt{u²+1}}du

Et voilà je vais regarder la suite plus tard.

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 04-02-20 à 11:52

Ah ouais d'accord j'ai compris pour la suite vue que c'est une non-élémentaire

Posté par
vhamre : Intégrale 4 04-02-20 à 15:46

Bonjour,

Pourquoi revenir à la forme initiale de l'énoncé ?
c'est C=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{e^x}{cos(x)} dx} qu'il faut traiter comme le suggère lake...

Posté par
lakere : Intégrale 4 04-02-20 à 16:02

Bonjour vham,

En fait, FerreSucre a calculé B-C pour obtenir A.

C'est sûr:  pas toujours facile a décrypter FerreSucre

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 04-02-20 à 18:13

Sa change pas grand chose dans tout les cas je voulais faire intervenir une variable x = tan(u) au début pour virer le arctan en haut

Parcontre pour la suite ... c'est complexe

Posté par
lakere : Intégrale 4 04-02-20 à 18:24

C'est sûr: le crux de l'affaire, c'est le début de la question 2):

Citation :
2) A l'aide de plusieurs intégrations par parties montrer que 2B=2C+1


N'allons pas trop vite; je te laisse encore un peu « mijoter ».

Juste une toute petite indication:

Quand j'avais résolu cet exercice, j'étais parti de B. Mais il y a peut-être d'autres manières de s'y prendre...

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 04-02-20 à 18:36

Ok merci pour l'indication je vais voir ce que je peux faire avec B. C'est juste que l'intégration par partie ne sert pas j'ai l'impression si on l'a fait on a un résultat de primitive + autre autre intégrale.
PS: ça veut dire quoi « crux » ?

Posté par
lakere : Intégrale 4 04-02-20 à 18:42

« Crux »

La principale difficulté.  

Posté par
larrechre : Intégrale 4 04-02-20 à 19:06

Bonjour,

Je finis par me demander si ce n'est pas plus "simple" de rechercher une primitive.

Je mets des guillemets, car j'ai pas mal pataugé pour y parvenir...

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 04-02-20 à 19:33

Mais elle est pas élémentaire la primitive ?
Franchement là je vois pas quoi faire j'ai essayé IPP sur B et C j'ai tenté deux trois truc mais je vois pas là

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 04-02-20 à 19:37

En fait même en ayant la relation 2B=2C + 1
On peut rien en faire faut connaître C ou B ?
Si je dis pas de bêtises elles sont non-élémentaire ? Faut pouvoir calculer une des 2 intégrales de 0 à pi/4

Posté par
lakere : Intégrale 4 04-02-20 à 19:50

Bonsoir larrech

Citation :
Je finis par me demander si ce n'est pas plus "simple" de rechercher une primitive.


Ça se discute mais l'énoncé tel qu'il est présenté n'y incite pas.
A l'époque où j'avais vu cet exercice, j'avais trouvé une primitive « après coup »

>> FerreSucre ,

  
Citation :
E n fait même en ayant la relation 2B=2C + 1
On peut rien en faire faut connaître C ou B ?


Étant donné qu'on a prouvé que A=B-C, si on montre que 2B=2C+1, on a immédiatement A=\dfrac{1}{2}

Non ?

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 04-02-20 à 19:53

Ah oui effectivement bref je dois trouver quoi et surtout je commence par où?, je suis bloqué !

Posté par
lakere : Intégrale 4 04-02-20 à 19:57

Citation :
Quand j'avais résolu cet exercice, j'étais parti de B.


Et des intégrations par parties... (Plus aucun changement de variables).

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 04-02-20 à 20:06

J'ai dais 3 IPP sur B et aussi sur C, je suis peut être aveugle mdr mais je trouve rien

Posté par
lakere : Intégrale 4 04-02-20 à 20:09

Vois-tu, la principale difficulté réside dans les choix et l'enchaînement des IPP.
J'avais cherché longtemps à l'époque; je ne suis pas très « bon » mais j'ai une qualité: je suis opiniâtre et teigneux; si je sens que les choses sont à ma portée, je n'abandonne pas.

En l'occurrence ici, je ne peux guère t'en dire plus. Ou rien ou je lâche tout.

Essaie d'être un peu « teigneux »

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 04-02-20 à 20:13

Ah j'ai vue quelque chose avec C j'ai un -1 c'est déjà ça xD

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 04-02-20 à 20:14

T'inquiètes pas j'abandonnerai pas mdr

Posté par
lakere : Intégrale 4 04-02-20 à 20:15

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 04-02-20 à 20:33

Aie aie autant pour moi j'avais oublié un « moins » sur une dérivée... c'est grave mdr

Posté par
lakere : Intégrale 4 04-02-20 à 20:44

Un dernier (ou plutôt deux) mot(s) pour ce soir FerreSucre:

- Quand je dis « je n'abandonne pas »,  cela signifie très souvent que je laisse passer une nuit (voire plus) avant de reprendre. J'ai remarqué que c'était efficace la plupart du temps. Je ne l'explique pas mais c'est comme ça.

- Chercher, même sans trouver, participe à ta progression en Maths. Je suis persuadé qu'il est bénéfique de passer du temps (pas 5 mn) sur un exercice qu'on aboutisse ou pas.

C'est mon ressenti: tu en fais ce que tu veux...

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 04-02-20 à 22:05

Je suis bien d'accord.
Rebonsoir ducoup j'ai fais une DI method,
On a donc :

[\dfrac{e^x}{cosx}-\dfrac{e^xsinx}{cos²(x)}]_{0}^{\pi/4}+\int_{0}^{\pi/4}{\dfrac{e^xsin²(x)+e^x}{cos^3(x)}}dx

Soit tout le debut = -1
Et on a :

\int_{0}^{\pi/4}{\dfrac{e^xsin²(x)+e^x}{cos^3(x)}}dx

\int_{0}^{\pi/4}{\dfrac{e^x(1-cos²(x)+e^x}{cos^3(x)}}dx

\int_{0}^{\pi/4}{\dfrac{e^x -e^xcos²(x)+e^x}{cos^3(x)}}dx

\int_{0}^{\pi/4}{\dfrac{2e^x}{cos^3(x)}}dx - \int_{0}^{\pi}{\dfrac{e^x}{cosx}}dx

C = -1 + 2B - C,    2C + 1 = 2B

Voilà et donc
A = B-C ,  B-C = 0,5
A = 0.5

C'est sûr que si je sais pas dérivée un vieux 1/cosx ça va pas m'aider, j'avais oublié le - de la dérivée 1/u....

Pour savoir parce que là c'est un cas spécifique, larrech dit qu'il y a une primitive et toi aussi comment on peut la trouver ?
Me dit pas tout j'aimerais bien la trouver.
Et en terminale S du maroc il te présente ça sans indication ? Ou y'a la comme toi 1) A = ... et 2)... ?

Posté par
lakere : Intégrale 4 04-02-20 à 23:51

Si tu veux qu'on te suive, il va falloir que tu mettes des égalités avec un signe = et deux membres.

Là, c'est incompréhensible.

C'est quoi cette première ligne ?

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 05-02-20 à 07:16

      D.                        I

+. 1/cosx.            e^x

-  sinx/cos²x.     e^x

+ (sin²x + 1)/(cos^3x).   e^x

Tu fais les diagonales vers la droite et
Tu as =[ \dfrac{e^x}{cosx} - \dfrac{e^xsinx}{cos²x}]_{0}^{\pi} = -1

Et il reste la derniere ligne sous forme d'intégration :

\int_{0}^{\pi}{\dfrac{sin²x + 1}{cos^3x}}dx

Et de la on revient à ce que j'ai fais

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 05-02-20 à 07:31

J'ai oublié le e^x c'est :

\int_{0}^{\pi}{\dfrac{e^x(sin²x + 1}{cos^3x}}dx

= \int_{0}^{\pi}{\dfrac{e^x(1-cos²x + 1}{cos^3x}}dx

= \int_{0}^{\pi}{\dfrac{2e^x-e^xcos²x}{cos^3x}}dx

Et là tu retrouves C = 2B -1 - C
2C = 2B -1
2C + 1 = 2B
2C - 2B = -1
C - B = -0,5
B - C = 0.5 = A

Posté par
lakere : Intégrale 4 05-02-20 à 08:20

Je ne comprends rien à ce que tu fais.

Il va falloir que tu postes des égalités avec un signe = et deux membres.

Citation :
D.                        I

+. 1/cosx.            e^x

-  sinx/cos²x.     e^x

+ (sin²x + 1)/(cos^3x).   e^x

Tu fais les diagonales vers la droite et
Tu as =[ \dfrac{e^x}{cosx} - \dfrac{e^xsinx}{cos²x}]_{0}^{\pi} = -1


Tout cela est du charabia sans queue ni tête. A un examen, cela vaut zéro.

Des égalités te dis-je!

Posté par
larrechre : Intégrale 4 05-02-20 à 09:15

Bonjour,

Manifestement, FerreSucre est adepte des méthodes à l'anglo-saxonne.

J'avais remarqué déjà l'utilisation de la fonctions \sec  tout à fait inhabituelle chez nous.

Ici, il fait une IPP en employant la méthode DI,  D pour dérivation,  I pour intégration.
Dans la colonne de gauche on dérive successivement l'une des fonctions, et dans celle de droite on intègre l'autre en alternant les signes à chaque fois. Puis on fait les produits en diagonale (voir sur le net).

On en apprend tous les jours...

A utiliser au brouillon pourquoi pas, mais effectivement à proscrire sur sa copie !

Posté par
lakere : Intégrale 4 05-02-20 à 09:19

D'autre part, il me semble bien que tu ne sais pas appliquer correctement la formule dite "d'intégration par parties". Je te la rappelle:

u et v sont des fonctions dérivables à dérivées continues sur [a,b]

\begin{aligned}\int_a^bu(x).v'(x)\text{ d}x=\left[u(x).v(x)\right]_a^b-\int_a^bu'(x).v(x)\text{ d}x\end{aligned}

Effectuer une IPP consiste:

   -à poser  u(x)=\cdots   et   v'(x)=\cdots,

   -puis de calculer:  u'(x) et v(x)

    -de contrôler que u et v sont dérivables à dérivées continues sur [a,b],

     -d'appliquer correctement la formule.

Posté par
lakere : Intégrale 4 05-02-20 à 09:21

Ah! Bonjour larrech

Je vais me renseigner...

Mais il reste que l'écriture de deux membres avec des égalités est indispensable ...

Posté par
larrechre : Intégrale 4 05-02-20 à 09:34

Bonjour lake

Oui, bien sur, sinon c'est incompréhensible.

J'ai tapé DI method sur Google.

Posté par
lakere : Intégrale 4 05-02-20 à 09:54

Apparemment, avec la "DI method", FerreSucre a fait deux IPP successives d'un coup.

>>FerreSucre: tu est sur un forum francophone où personne ne connait cette "DI method"

Je ne dis pas que ton calcul est faux (il semble juste d'ailleurs) mais c'est à toi de t'adapter; pas à nous: ici c'est IPP.

Posté par
lakere : Intégrale 4 05-02-20 à 11:08

Pour finir:

Soit F(x)=\dfrac{1}{2}\,(x-1)\sqrt{1+x^2}\,e^{\arctan\,x}

Calcule F'(x).

Ne me demande pas comment j'ai fait

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 05-02-20 à 11:45

Bah en faite je regarde beaucoup de vidéos de « blackpenredpen » sur youtube qui est sûrement anglais ducoup mais les sec par exemple je les utilise rarement seulement pour simplifier l'écriture parfois .
La DI méthod est juste une IPP mais beaucoup plus efficace, tu peux intégrer plusieurs fois par partie très rapidement.

Mais sur une copie je pense que ça peut passer c'est pas vraiment un brouillon c'est une technique la même que l'IPP mais plus rapide

D'accord pour la réponse je vais y réfléchir.

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 05-02-20 à 11:47

Juste pour trouver F(x) t'es parti de « A » ou de B-C , B et C sont non élémentaires ?

Posté par
malou Webmasterre : Intégrale 4 05-02-20 à 11:52

Bonjour, je m'immisce...

FerreSucre @ 05-02-2020 à 11:45


Mais sur une copie je pense que ça peut passer c'est pas vraiment un brouillon c'est une technique la même que l'IPP mais plus rapide

non, je ne suis pas du tout d'accord FerreSucre...il y a un moment que je suis de loin les échanges. Le grand danger d'apprendre seul est d'acquérir des connaissances de manière peu rigoureuse ou qui plus est pour le coup pas du tout dans les programmes...attention....il est plus facile de faire pousser un arbre droit que d'en redresser un tordu...

Posté par
larrechre : Intégrale 4 05-02-20 à 11:58

Non, en France, ça ne passerait pas. Même si le correcteur connaît la méthode, il la rejetterait. A tort ou à raison, ce n'est pas à moi d'en juger, mais, de fait,  c'est une technique qui permet de ne pas réfléchir et se transforme en pur automatisme. J'en resterais là sur cette question.

Il te reste à retrouver la primitive indiquée par lake.

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 05-02-20 à 11:59

Pas mal la citation mdr ^^
Oui bah après au pire tu fais ça sur brouillon et tu recopies... c'est juste que la formule de l'IPP je la trouve compliqué à appliquer successivement,

Ça passe pas sur un DS d'intégrale de tomber sur une IPP et d'éviter de passer par tout ça:
u'(x) = ...
u = ... v = ...
Pour mettre au final [uv]-/...
Et plutôt juste écrire le résultat final c'est à dire [uv]+...
Parce que il me semble quand postbac il demande pas tant de détails,
c'est comme en 4 eme on te demande de faire le détail des équations de mettre une flèche avec divisé par 5 puis + 5 et au final en première tu as l'équation tu mets 2 3 ligne et le résultat sans détailler au maxium ?

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 05-02-20 à 12:23

C'est une question. J'espère juste que y'a pas besoin de détailler ce genre de truc c'est comme en première ils nous demandent de mettre u'(x) v(x) v'(x)u(x) pour une dérivée de uv, je reconnais que l'erreur est moindre mais c'est long...

Posté par
larrechre : Intégrale 4 05-02-20 à 12:30

Non, bien sûr, à un niveau plus élevé,  il n'y a pas besoin de poser u'=.. etc..
On écrit par exemple, "en intégrant par parties : ..." et l'on donne l'égalité obtenue.

Posté par
FerreSucrere : Intégrale 4 05-02-20 à 12:41

Oui donc quelques soit la technique il te le demande juste au debut sur le 1er control et après tu met IPP et résultat rt juste j'avais une question,
L'ipp marche que quand u et v sont continues et derivable sur « a,b » mais ducoup u doit être continue en a et b et continue de a à b o juste continue de « a à b » ?
Je sais pas si je suis très clair

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