Une  IPP devrait faire l'affaire !

Solution complète (par changement de variable) en sélectionnant le texte ci-dessous avec la souris.
Si tu ne veux pas une telle solution, ... ne regarde pas cette solution.

<font color="#FFFFFF">

Par changement de variable (pas au programme si Terminale en France)

Poser x/(x+1) = t²

(x-x-1)/(x+1) = t²-1
-1/(x+1) = t²-1
x+1 = -1/(t²-1)

dx = 2t.dt/(t²-1)²

V(x/(1+x)) dx = 2t²/(t²-1)² dt
---
t²/(t²-1)² = A/(t-1) + B/(t+1) + C/(t-1)² + D/(t+1)²

Mettre au même dénominateur, regrouper les termes de même puissance en t, par identification ,on trouve :

t²/(t²-1)² = (1/4)/(t-1) - (1/4)/(t+1) + (1/4)/(t-1)² + (1/4)/(t+1)²

V(x/(1+x)) dx = (1/2)/(t-1) - (1/2)/(t+1) + (1/2)/(t-1)² + (1/2)/(t+1)²

S V(x/(1+x)) dx  = (1/2).ln|(t-1)/(t+1)| - (1/2)/(t-1) - (1/2)/(t+1)
---
x = 1 --> t = 1/V2
x = 3 --> t = (V3)/2

S(de 1 à 3) V(x/(1+x)) dx = [(1/2).ln|(t-1)/(t+1)| - (1/2)/(t-1) - (1/2)/(t+1)](de 1/V2 à (V3)/2)

= 1,6143037...
-----

Sauf distraction.  
<font>

Franchement j'ai pas très bien compris votre méthode !! il n'y pas une autre plus simple ?!

Il faut faire le changement de variable :

(avec u > 0)



devient

qu'est ce que sh et ch  ? j'ai pas compris