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Posté par
Tomy01 10-11-14 à 21:11

Bonjour à tous,
J'ai un exercice dans un livre dont je n'arrive pas à voir le raisonnement.
On a (les bornes de l'intervalle sont 0 et 1) I = e-t2dt (le t est au carré) et les fonctions h et g définies sur [-1;0] par h(u)=eu-1-u et g(u)=h(u)-(1/2)*u2.
Pour la première partie, il demandent de montrer que 0 h(u) . Et pour le démontrer, il dérivent h(u) en h'(u)= e2-1. C'est la dérivation que je n'arrive pas à comprendre, merci de votre aide !

Posté par
Jedoniezhre : Intégrale 11-11-14 à 08:21

Bonjour,

La relation 0\leq h(u) est fausse sur l'intervalle [-1,0]

u\in[-1,0]\text{ donc }-1\leq u\leq 0 \Rightarrow e^{-1}\leq e^u\leq e^0=1 \Rightarrow e^{-1}-1\leq e^u-1\leq 1-1=0 \Rightarrow h(u)\leq 0

Posté par
Jedoniezhre : Intégrale 11-11-14 à 08:28

Ah non, au temps pour moi, je n'avais pas vu ton "-u" ....

C'est donc h(u)=e^{-u}-1-u

Posté par
Jedoniezhre : Intégrale 11-11-14 à 08:38

Donc tu dérives et tu as :

h'(u)=e^u-1

Donc :

u\in[-1,0]\text{ donc }-1\leq u\leq 0 \Rightarrow e^{-1}\leq e^u\leq e^0=1 \Rightarrow e^{-1}-1\leq e^u-1\leq 1-1=0 \Rightarrow h'(u)\leq 0}

donc h est décroissante sur [-1,0] (ta fonction est décroissante vers 0, donc les valeurs "d'avant 0" (donc entre -1 et 0) sont forcément positive : on ne pourrait pas décroître vers 0 en étant dans des valeurs négatives)

or h(0)=e^0-1-0=0   , donc h(u)\geq 0  sur [0,1]

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Posté par
Tomy01Merci 11-11-14 à 10:26

Merci pour ces explications, ça clarifie les choses ! Bonne journée !

Posté par
Jedoniezhre : Intégrale 11-11-14 à 13:41

Tant mieux alors.

Si tu as d'autres question ....


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