Bonjour !
Tu peux calculer la dérivée de et montrer que est décroissante et positive.
La limite de en te donne la propriété demandée.

Comment peut deriver l'integrale  de 0 à x f(t)dt,

donc on a g'(x)=-e^-x *integrale de x à o f(t)dt+f(x)*e^-x ?

salut

oui ...

factorise par exp(-x) et utilise l'hypothèse sur f pour déterminer le signe de g' ...

g'(x)=-e^-x(*integrale de x à o f(t)dt-f(x))

donc la fonction g est décroissante.
Et après ? Je ne comprend pas comment on fait après

Bonjour !
Puisque est décroissante tu peux comparer et pour .

et d'autre part ne connais-tu pas le signe de g ?

donc ... ?

g est négative sur [0;+ infinie[
g(x) <=0
e^-x > 0 donc *integrale de x à o f(t)dt<=0
mais il faut que *integrale de x à o f(t)dt soir =0
donc g(x)=0 sur [0;+infinie[
c'est ca ? Et ensuite?

Bonjour !
Tu as fini puisque

ce qui est écrit à 23h21 est imprécis ... et il est grand temps d'organiser et structurer la pensée !!!

1/ on montre que g' < 0

2/ or g(0) = 0 donc g < 0

3/ mais exp(-x) > 0 et 0 < f ==> 0 < f

4/ donc par produit g > 0

5/ par conséquent g = 0

6/ voir 08h11

....