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integrale

Posté par
Disiz 10-08-19 à 13:44

Salut

Peux tu me donner une idée pour trouver lej_n. J 'ai déja fais tous les questions.Merci

\begin{array}{l}{\text { On note, pour tout } n \in \mathbb{N}^{*} : I_{n}=\int_{0}^{1} \dfrac{x^{2 n}}{1+x^{n}} \mathrm{d} x} \\ {\text { a) Trouver } \lim _{n \infty} I_{n}} \\ {\text { b) On considère, pour tout } n \in \mathbb{N}^{*} : J_{n}=\int_{0}^{1} \dfrac{x^{2 n-1}}{1+x^{n}} \mathrm{d} x} \\ {\text { I) Montrer: } \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad\left|I_{n}-J_{n}\right| \leqslant \dfrac{1}{2 n(n+1)}} \\ {\text { 2) Calculer } J_{n} \text { pour tout } n \in \mathbb{N}^{*}}\end{array}

Posté par
lakere : integrale 10-08-19 à 13:53

Bonjour,

  Dérive F(x)=\dfrac{1}{n}\,\left(x^n-\ln(1+x^n)\right)

Posté par
Disizre : integrale 10-08-19 à 13:57

ok merci je vais faire sa

Posté par
carpediemre : integrale 10-08-19 à 13:59

salut

\dfrac {x^{2n - 1}} {1 + x^n} = \dfrac 1 n x^n \dfrac {nx^{n - 1}} {1 + x^n} et une IPP ... à voir ...

maintenant est-il réellement nécessaire de calculer J_n ... mais comme on n'a pas l'énoncé complet ...

ou alors :

x^{2n - 1} = \dfrac 1 x (x^{2n} - 1 + 1) = \dfrac 1 x (x^n - 1)(x^n + 1) + \dfrac 1 x

et on divise par 1 + x^n ... mais bon semble problématique ...

Posté par
Disizre : integrale 10-08-19 à 14:08

Lake c est quoi la technique ,,,que tu as fais    

F'\left( x \right) =\left( { x }^{ n-1 }-\dfrac { { x }^{ n-1 } }{ 1+{ x }^{ n } }  \right) =\dfrac { { x }^{ 2n-1 } }{ 1+{ x }^{ n } }

carpediem l 'enoncé c 'est sa j 'ai juste enlever le derniere question car j 'ai pas travailler le cours.Je regarde aussi ton idee

Posté par
Disizre : integrale 10-08-19 à 14:13

@carpediem ,sa la=\dfrac{1}{n} x^{n} \dfrac{n x^{n-1}}{1+x^{n}} c 'est très bien avec la substitution k=x^n car je vois le dérivé en haut de la fraction

Posté par
larrechre : integrale 10-08-19 à 14:25

Bonjour Disiz,

Pour le calcul de J_n, lake (que je salue) a observé que

\dfrac{x^{2n-1}}{1+x^n}=\dfrac{(1+x^n-1) x^{n-1}}{1+x^n}

le truc diabolique...

Posté par
Disizre : integrale 10-08-19 à 14:31

aah ok je vais voir dans le profondeur sa car il a tout de suite donner la reponse .

Mais l'idée de carpediem et bien aussi **  J_{n}=\int_{0}^{1} \dfrac{x^{n+ n-1}}{1+x^{n}} \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \dfrac{k}{n} \dfrac{ \mathrm{d} k}{1+k}=\dfrac{1}{n} \int_{0}^{1}\left(1-\dfrac{1}{1+k}\right) \mathrm{d}k

J_{n}=\dfrac{1+\ln (1/2)}{n}  

Posté par
lakere : integrale 10-08-19 à 14:32

Bonjour larrech

Oui  ou que:

   \dfrac{x^{2n-1}}{1+x^n}=x^{n-1}-\dfrac{x^{n-1}}{1+x^n}

Posté par
carpediemre : integrale 10-08-19 à 14:39

ouais on tournait tous autour ... mais j'étais le moins efficace sur ce coup ...

Posté par
Disizre : integrale 10-08-19 à 14:48

Je ne peux pas repondre,  je l' ai enlever \text { 3) En déduire un équivalent simple de } I_{n} \text { lorsque l'entier } n \text { tend vers l'infini. }

je ne conais pas un cours sur un équivalent  ..si je dois le déduire sa veux dire qu'il faut que  je cherche avec le resultat des questions de tous l'énoncé  .Moi la seul  que je peux dire c 'est que les deux suites on la même limite c 'est peut être sa un équivalent..

Posté par
lakere : integrale 10-08-19 à 16:26

De \left|I_n-J_n\right|\leq \dfrac{1}{2n(n+1)}, on peut écrire:

    J_n-\dfrac{1}{2n(n+1)}\leq I_n\leq J_n+\dfrac{1}{2n(n+1)}

et tu peux en déduire un encadrement de \dfrac{nI_n}{1-\ln\,2}.

Posté par
Disizre : integrale 10-08-19 à 16:35

@lake   le  \dfrac{n I_{n}}{1-\ln 2}  tu poses le\dfrac{ I_{n}}{j_n} ? pourquoi tu le fais sa ?Ou alors tu veux que je trouve  pour tous les n expression encadrer?  MERCI

Posté par
lakere : integrale 10-08-19 à 16:45

Trouver un "équivalent" de la suite (I_n) consiste à trouver une autre suite (simple): (u_n) telle que:

   \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{I_n}{u_n}=1

Avec ce qu'on a écrit au dessus, on a bien:

   \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{I_n}{\dfrac{1-\ln\,2}{n}}=1

Ce qui répond à la question, non ?

Posté par
Disizre : integrale 10-08-19 à 16:55

oui je pense que a cause de la fraction qui donne le 1 on peut deduire que les deux suite sont equivalent mais  faut que je regarde un cours sur sa car c 'est pas encore intuitif pour moi merci


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