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Integrale

Posté par
Azizi
12-04-22 à 01:13

Bonjour

S'il vous plait des astuces pour resoudre cet integrale

(Cos(x)³/(2+Sin(x))²)dx

Posté par
lake
re : Integrale 12-04-22 à 07:53

Bonjour,

Essaie le changement de variable u=\sin\,x

Posté par
carpediem
re : Integrale 12-04-22 à 11:44

salut

que signifie "résoudre cette intégrale" ?

Posté par
Chamfort
re : Integrale 12-04-22 à 12:16

Bonjour;

le changement de variable tan(x)=t
est aussi intéressant.

Posté par
etniopal
re : Integrale 12-04-22 à 12:51

   Un changement de variable  ne peut s'utiliser que dans des  \int_{a}^{b}{f(t)dt}  et être  au moins une bonne bijection de [a , b] sur un  intervalle [c , d] .

    Ici il s'agit de trouver une primitive de f := cos³/(2 + sin)² . On pourra essayer de cuisiner par exemple   \int_{0}^{x}{f(t)dt} pour x .
   Comme sin arrive dans un intervalle borné   il ne pourra pas servir comme changement de variable pour pas mal de x .
    Par conte tan pourra servir ( de changement de variable) .

    Mais on peut remarquer que f =( g o sin).sin' où g est l'application t (1 - t²)/(2 + t²) .Si G est une primitive   de g ( facile à exprimer avec les fonctions usuelles) on a donc f = (G o sin) ' de sorte que l G o sin   st une primitive de f .

Posté par
Razes
re : Integrale 12-04-22 à 16:56

Bonjour,
Comme changement de variable,  on peut poser t=2+\sin x

Posté par
etniopal
re : Integrale 12-04-22 à 17:10

      changement de variable dans quelle     \int_{a}^{b}{f(t)dt}    ?

Posté par
Chamfort
re : Integrale 13-04-22 à 06:49

Bonjour;

pour terminer

\tan x = t\\
 \\ dx = \frac{1}{{1 + {t^2}}}dt\\
 \\ {\cos ^2}x = \frac{1}{{1 + {t^2}}}\\
 \\ {\sin ^2}x = \frac{{{t^2}}}{{1 - {t^2}}}\\
 \\ \int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{2 + {{\sin }^2}x}}} dx = \int {\frac{{\frac{1}{{1 - {t^2}}}}}{{2 + \frac{{{t^2}}}{{1 - {t^2}}}}}}  \cdot \frac{1}{{1 + {t^2}}}dt = \int {\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}} dt
 \\

Posté par
Razes
re : Integrale 15-04-22 à 22:23

Bonsoir,
@Chamfort; ce que tu propose contient une erreur. Essais de calculer \cos^2x+\sin^2x  

Posté par
lake
re : Integrale 16-04-22 à 01:49

Bonsoir,

Et de toute manière il y a un cube au numérateur ce qui rend le changement de variable \tan\,x=t fort peu sympathique

Posté par
Razes
re : Integrale 16-04-22 à 02:08

Bonsoir,
En posant t=2+\sin x; dt=\cos x dx

Nous aurons: \int \frac {\cos^2x\cos x}{(2+\sin x)^2}dx=\int \frac {(1-\sin^2x)\cos x}{(2+\sin x)^2}dx=\int \frac {(1-(t-2)^2}{t^2}dt=\int \frac {-t^2+4t-3}{t^2}dt=........



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