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integrale avec tan

Posté par
niako11 09-07-14 à 20:13

1-On définit,pour tout réel x, la fonction F par ; F(x)=intégrale de 0 à x de 1/1+t^2 dt
Expliquer pourquoi la fonction F est dérivable sur R et calculer sa dérivée F'

2-Soit g la fonction définie sur ]0; pi/2[ par ; g(x)=F(tan x)
A l'aide du théorème de dérivation d'une fonction composée, démontrer que g est dérivable et que g(x)=x

3- En déduire que ; I=pi/4 où I=1-1/3+1/4+...(-1)^n/2n+1

Je ne trouve pas g(x)=x merci

Posté par
Cherchellre : integrale avec tan 09-07-14 à 21:00

1.  La fonction f : t 1/(1 + t 2) est définie continue sur R donc F est la primitive de f nulle en 0 donc F est dérivable sur R et F'(x) = 1/(1 + x 2)

2. la fonction tangente est continue dérivable sur ] 0 ; /2 [ à valeurs dans R, la fonction R est continue dérivable sur R donc leur composée g est dérivable sur R..
g'(x) = F'(tan x) (1 + tan 2x) = 1

donc g(x) = x + C or g(0) = F(0) = 0 donc C = 0 et g(x) = x

3. Réécris ta troisième question, il y a une erreur :
I doit être une limite et ce ne doit pas être 1/4 mais plutôt 1/5.
Il faut utiliser la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison - x² de premier terme 1 puis intégrer terme à terme entre 0 et 1.
Pense à utiliser que F(1) = F(tan /4) = g(/4) = /4
Encadre 1 / (1 + x 2) cela te permettra de calculer la limite du terme complémentaire

Posté par
niako11re : integrale avec tan 09-07-14 à 21:11

OK merci mais pourquoi F s a annulé en 0?

Posté par
Francchoixpistes 09-07-14 à 21:43

F est dérivable car\frac{1}{1+t^2} est continue sur[0; x]et F'(x)=\frac{1}{1+x^2}.

g(x)=S\bigint_{0}^{tan(x)}\frac{1}{1+t^2}dt=F(tanx); donc F'(tan(x))=tan'(x)(\frac{1}{1+tan^2(x)}).

Or tan'(x)=(\frac{sin(x)}{cos(x})'=\frac{sin^2(x)+cos^2(x)}{cos^2(x}=1+tan2(x);

Donc, g'(x) =1 et g(x)=x+k; comme g(0)=0, k=0 et g(x)=x.

En fait, F(x)=arctan(x), qui est définie sur R, ce qui est confirmé par la question suivante où g devrait en plus être définie sur ]-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}[.

Quand à la question 3-, il est strictement impossible de l'établir avec ce qui précède; c'est du grand n'importe quoi!!!

Posté par
Francchoixproblème! 09-07-14 à 21:54

La méthode proposée par cherchell est valable pour -1<x<1, mais pour x =1, la série 1-1+1-1+ etc n'est pas convergente, c'est un problème classique de post bac!

Posté par
cailloux Correcteurre : integrale avec tan 10-07-14 à 18:16

Bonjour,

Question 3):

Citation :
Quand à la question 3-, il est strictement impossible de l'établir avec ce qui précède; c'est du grand n'importe quoi!!


Ah oui ?

La méthode proposée par Cherchell marche très bien.

Cet exercice, qui consiste à calculer la limite de la somme alternée des impairs, était un classique en terminale à une autre époque...

Posté par
Francchoix??? 10-07-14 à 19:19

Démonstration?

Posté par
Francchoixrayon de convergence 10-07-14 à 20:31

Je rappelle que si on est sur le rayon de convergence, il n'y a plus grand chose qui se passe bien. Avec le développement en série de Fourier, j'ai une solution; mais sinon, surtout quand on arrive à une série carrément divergente, c'est pas gagné!

Posté par
slorevivbac 1980 ORLEANS 10-07-14 à 22:07

  Bonsoir
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/OrleansToursCjuin1980.pdf

A la fin c'est tout à fait ce que dit Cailloux!

Posté par
Francchoixautre exemple 11-07-14 à 14:35

Bonjour,

j'ai regardé l'épreuve de 1980. Comme on peut le constater la partie permettant d'établir :

\frac{\pi}{4}=\Sigma_{0}^{+oo}\frac{(-1)^k}{2k+1}, si elle n'est trop difficille est à des années lumières de ce que peut faire un élève de TS actuel.

On a le même problème pour établir que:

ln(2)=\Sigma_{0}^{+oo}\frac{(-1)^k}{k+1},car ln(1+t)=\Sigma_{0}^{+oo}\frac{(-1)^k.t^k}{2k+1}

a pour rayon de convergence 1; donc pour t=2, on doit traiter un cas particulier. Je propose une méthode qui demande seulement d'être initié à l'intégration par parties:

On pose: S_n=\Sigma_{0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{k+1}  et

I_n=S\bigint_{0}^{1}(1-t)^n(1+t)^{-n+1}dt

1) vérifier que I0=ln(2),  I1=1-ln(2),  I

Posté par
Francchoixsuite 11-07-14 à 15:04

Désolé, erreur de clic, donc:

1) Vérifier que I_0=ln(2),  I_1=1-ln(2),  I_2=ln(2)-1+\frac{1}{2}.

2)Démontrer par récurrence que pour tout n, I_n=(-1)^{n+1}(S_n-ln(2))

3)En majorant (1-t)^n   sur  [o;1], montrer que 0\leq I_n\leq\frac{1}{n}.

4) En déduire: ln(2)=\Sigma_{0}^{+oo}\frac{(-1)^k}{k+1}

Dans le post précédent, c'est t=1 qui est sur le rayon de convergence.

PS: dans les 2 cas on obtient des séries semi-convergentes et on ne peut pas  regrouper les termes ou les permuter;
exemple: si on regroupe \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}, on obtient \frac{1}{n^2+n}, qui est le terme d'une série absolument convergente.

moralité: à manipuler avec précaution

Posté par
cailloux Correcteurre : integrale avec tan 12-07-14 à 14:48

Revenons au sujet initial:

3) \displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^kt^{2k}=\sum_{k=0}^n(-t^2)^k=\dfrac{1-(-t^2)^{n+1}}{1+t^2}=\dfrac{1}{1+t^2}+(-1)^n\,\dfrac{t^{2n+2}}{1+t^2}

Par intégration sur [0;1]:

\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{2k+1}=\dfrac{\pi}{4}+(-1)^n\,\int_0^1\dfrac{t^{2n+2}}{1+t^2}\,\text{d}t

Posons I_n=\int_0^1\dfrac{t^{2n+2}}{1+t^2}\,\text{d}t

Sur [0;1], 0\leq \dfrac{t^{2n+2}}{1+t^2}\leq t^{2n+2}

Donc 0\leq I_n\leq \dfrac{1}{2n+3}

On en déduit: \lim\limits_{n\to +\infty}I_n=0

Puis: \lim\limits_{n\to +\infty}\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{2k+1}=\dfrac{\pi}{4}

Tout ceci de niveau lycée ...

Posté par
cailloux Correcteurre : integrale avec tan 12-07-14 à 14:57

... et parler de rayon de convergence et autres ici est ... comment dire ? ...

Posté par
Francchoixdémonstration 12-07-14 à 18:12

Salut cailloux,

tu donnes une démonstration sympa; c'est bien, mais tu le démontre; je ne savais pas trop expliquer que la démarche n'était justifié par aucun théorème, c'est pas du niveau lycée. Le principal, c'est que tu donnes une démonstration correcte et que tu ne remplace pas x par 1, ce qui n'est pas justifié. Le bac 1980 donne une démonstration pas facile du tout; avec les séries de Fourier, c'est réglé en 3 lignes. Ceci dit, ça m'étonnerais que le prof attende ta démo!

Posté par
arimare : integrale avec tan 12-07-14 à 20:44

Bien sur que c'est la solution attendue et c'est de niveau lycée sans problème. Peut être qu'une étape de plus aurait été la bienvenue pour aiguiller un peu l'élève cependant, c'est vrai.

Posté par
FrancchoixErreur classique 13-07-14 à 11:41

Moi, je pensais à la démarche suivante qui est très classique, mais erronée:
Je vais appeler F par son nom: arctan; d''ailleurs je ne comprends pas qu'on ne le dise pas.

Pour tout x tel que -1<x<1, on a \frac{1}{1+x^2}=\Sigma\bigsum_{0}^{+oo}(-1)^kx^{2k}

donc en intégrant terme à terme:

arctan(x)=\Sigma\bigsum_{0}^{+oo}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1};

jusque la, c'est bon parce que -1<x<1; mais c'est tellement tentant de dire:

donc pour x=1, arctan(1)=\frac{\pi}{4}=\Sigma\bigsum_{0}^{+oo}\frac{(-1)^k}{2k+1}

mais, c'est comme une forme indéterminée et il faut faire une étude à part.

Ca marche parce qu'on l'a prouvé mais pour tout z, tel que `|z|=1, il faut examiner le  cas;

par exemple pour z=i, ça donnerait :

arctan(i)=\Sigma\bigsum_{0}^{+oo}\frac{i}{2k+1}=i\Sigma\bigsum_{0}^{+oo}\frac{1}{2k+1} qui diverge, et pour |z|>1, ça diverge systématiquement.

J'ai donc été très surpris par le "en déduire" de l'énoncé.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : integrale avec tan 13-07-14 à 12:16

Ni l'énoncé, ni certaines parties de la correction ne sont recopiés correctement de l'original ...

qui je pense se trouve ici :

Citation :
http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/Lycee_fichiers/DevoirsT_fichiers/DM14TS.pdf


Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : integrale avec tan 13-07-14 à 12:17

Zut, voila le lien :



Posté par
FrancchoixC'est plus clair 13-07-14 à 14:32

Bonjour J.P.,

Je te remercie de m'avoir éclairé; évidemment, avec l'énoncé, c'est beaucoup plus facile et avec le corrigé, je n'en parle pas.
Ca m'étonnerais qu'ils aient essayé la méthode proposée au bac C 1980, puisque je ne sais pas s'il y a un corrigé et que l'on part de I_n=S\bigint_{0}^{\frac{\pi}{4}}tan^n(x)dx
et que dès la 1° question on demande de prouver que I_n tend vers 0, ce qui n'est pas facile puisque sur [0; \frac{\pi}{4}], tann(x) ne tend pas uniformément vers 0, mais à cette époque on savait couper des \epsilon en deux.

Donner un problème totalement incomplet, dont on a le corrigé, avec juste la question g(x)=x qu'on a pas comprise, c'est quand se foutre du monde! je me méfierais davantage.

Bonne fin de journée (et peut être bonne coupe du monde)


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