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Intégrale, besoin d une confirmation
Bonjour !
Alors voilà, une amie m'avait donné une intégrale en défi, me disant qu'elle était horriblement difficile, alors forcément, j'ai voulu la faire 
Le monstre ressemble à ca :
0 à 1(x+1)ln(x+1) dx
J'me suis rapidement rendue compte qu'en faisant une intégration par partie je tournais en rond, alors j'ai pensé "Tiens, et si je faisais un changement de variable pour voir ?"
Le résultat correspond à celui que me donne ma calculatrice, mais je voudrais être sûre que ce n'est pas un coup de chance, et que je pourrais le refaire éventuellement, un jour...
Donc, j'ai posé X = (x+1), ce qui me donne
0 à 1XlnX dX
(qui me parait beaucoup plus simple 
)
Donc en posant u(X)=ln X --> u'(X)=1/X et v'(X)=X --> v(X) = X²/2 j'ai :
(1/2)[X².lnX]01 - 0 à 1(X²/2)*(1/X) dX
= (1/2) [ (x+1)².ln(x+1) ] 01 - (1/2)0 à 1(x+1)dx
= 2ln2-(1/2)[(x²/2)+x)]01
= 2ln2 - (1/2)(1/2+1) = 2ln2 - 3/4
Alors ?
Emmylou.
Bonjour Emmylou
J'ai ca aussi 
Ghostux
Le résultat final est correct, mais il y a des erreurs en cours de route.
Lorsque tu poses X = (x+1)
Si x = 0 -> X = 1
et si x = 1 -> X = 2
Et donc, tu as: 1 à 2X.ln(X) dX et pas ce que tu as écrit.
Pareil plus loin, on doit avoir:
(1/2)[X².lnX]1 à 2 1 à 2 (X²/2)*(1/X) dX et pas ce que tu as écrit.
Plus loin, comme tu reviens à la variable x du début, tu es retombée sur tes pieds et la solution est correcte.
Mais attention car il y a les erreurs mentionnées dans le chemin utilisé.
Ah merci J-P
J'suis revenue à la variable x parce qu'en gardant X, je trouvais quelque chose qui allait pas du tout, ce qui parait normal puisque j'avais pas pensé qu'il fallait changer les bornes ^^
Attention qu'en recopiant les formules corrigées, un - s'est égaré quelque part dans ce que j'ai écrit.
Tu peux effectivement calculer la valeur de l'intégrale sans faire le second changement de variable mais en tenant compte des bornes correctes.
C'est plus direct.
Tu vas trouver la même réponse bien entendu.
Toutefois, même si ici cela ne provoque pas d'erreur ici, il ne faut pas oublier de recalculer la différencielle APRES le changement de variable.
X=x+1
dX=d(x+1)=dx+d(1)=dx+0=dx
c'est un truc qu'on a tendance a oublier, tout comme les bornes d'intégration.
Mais... C'est très important ça, ou c'est uniquement une question de rédaction correcte ?
Comment ca peut provoquer une erreur ? 
Emmylou.
Bien sûr cela peut provoquer une erreur.
Pas ici car X = x + 1 implique que dX = dx
mais dans la plupart des cas de changement de variable, ce n'est pas le cas.
Par exemple si on fait le changement de variable:
cos(X) = x
on aura -sin(X).dX = dx
Et pas du tout dX = dx.
bonjour à tous
il me semble ma chère emylou que si tu fais la mm intégration par partie sans changement de variable tu y arrives aussi c'est peut être un poil plus long
en effet
u(x)=ln(x+1) donc u'(x)=1/(x+1)
v'(x)=x+1 donc v(x)=x²/2 + x
bon j'accélère un peu je ne mets plus les bornes des qui sont bien sur 0 et 1
[blabla][sub][/sub]0 à 1 - 1/2(x²+2x)/(x+1) dx
or x²+2x=(x+1)²-1 donc ton
devient (x+1-1/(x+1)) dx ce qui est facile
voilà c'était juste pour donner une autre méthode
bye bye
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