Niveau terminale

Intégrale d'une somme

Posté par
DeFunes43 25-03-09 à 17:44

Bonjour à tous!
J'ai une intégrale a calculer, et j'ai un peu de mal a en voir le bout...
C'est pourquoi je sollicite a nouveau votre aide...

Je vous fais pas languir, voici l'intégrale
$In = \Bigint_1^{n} \sum_{k=1}^n |x-k| dx$

Pour l'instant, j'ai fait ça:
$In = \Bigsum_{k=1}^n \int_1^{n} |x-k| \\ = \Bigsum_{k=1}^n {\int_1^{k} (k-x) dx + \int_k^{n} (x-k) dx} \\ =\frac {1}{2} \Bigsum_{k=1}^n [(k-x)^2]^k_1 + [(x-k)^2]^n_k \\ ==\frac {1}{2} \Bigsum_{k=1}^n (-(k-1)^2) + (n-k)^2$

Mais je ne sais absolument pas quoi faire de ça...
Je pense qu'il y a de la somme des k² dans l'air, mais je ne sais absolument pas comment continuer...
Merci d'avance!

Posté par re : Intégrale d'une somme 25-03-09 à 22:11

Bonsoir,

Je crois qu' il y a une erreur de signe dans ta première primitive.

Sinon: $\Bigsum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

et $\Bigsum_{k=1}^{n} (k-1)^2=\bigsum_{k=1}^{n-1}k^2$

$\Bigsum_{k=1}^{n}(n-k)^2=\Bigsum_{k=1}^{n-1}k^2$

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