Voila l'exercice portant sur les intégrales qui me pose problème :

F est la fonction éfinie sur [0 ; +l'infini[ par :
F(x) = ∫ de 0 à x ln(1+e(-2t)) dt

1) Etudier le sens de variation de F sur [0 ; +l'infini[ ?
Réponse du 1 : J'ai calculer la dérivé F'(x) = (-2e(-2t)/(1+e(-2t))
j'ai étudier son signe qui est négatif sur le Domaine de définition
On en déduit que F(x) est négatif sur l'intervalle étudié
J'ai calculé ensuite lim F(x) pour x qui tend vers 0 et j'ai trouvé ln(2).
J'ai calculé ensuite lim F(x) pour x qui tend vers +l'infini et j'ai trouvé 0+.
Est ce que la démarche est exact ou il y a t-il des erreurs ?

2) a est un réel strictement positif
a) Démontrer que, pour tout t de l'intervalle [1 ; 1+a] on a:
1/1+a ≤ 1/t ≤ 1 ?
Réponse du 2a) : J'ai démontré cela de la manière suivante :
Comme t appartient au domaine de définition [1 ; 1+a] alors :
1 ≤ t ≤ 1+a avec a un réel strictement positif
Puis en prenant l'inverse de l'écrire précédente on obtient :
1/1+a ≤ 1/t ≤ 1/1 et comme 1/1 = 1 alors on a bien montré pour tout t de l'intervalle [1 ; 1+a] on a:
1/1+a ≤ 1/t ≤ 1
Est ce que la démarche est exact ou il y a t-il des erreurs ?

2)b) En déduire que a/1+a ≤ ln(1+a) ≤ a ?
Je n'ai pas réussi cette question car je ne vois pas le lien entre ln(1+a) et 1/t la seule chose que j'arrive à en déduire c'est que : a/1+a ≤ a.

3) x est un réel de [0 ; +l'infini[ .
Déduire de la question 2. que

* ∫ de 0 à x (e(-2t))/(1+e(-2t)) dt ≤ F(x) ≤ ∫ de 0 à x (e(-2t)) dt
Réponse du 3: Pour cette question il suffit de poser a = (e(-2t)) je pense car une fois la question 2 prouvé cette question suit le même principe.

* 1/2ln(2)-1/2ln(1+e(2x) ≤ F(x) ≤ 1/2-1/2e(-2x)
J'ai chercher la primitive de (e(-2t))/(1+e(-2t)) et j'ai trouvé ln(1+e-(2t)) mais en calculant l'intégrale je trouve :
ln(1+e(-2x)) - ln (2) et non 1/2ln(2)-1/2ln(1+e(2x) je pense qu'il faut donc tout diviser par 2 ?
J'ai chercher la primitive de (e(-2t))  et j'ai trouvé (e(-2t))  mais en calculant l'intégrale je trouve :
(e(-2x)) - 1 et non 1/2-1/2e(-2x) je pense qu'il faut donc tout diviser par 2 ?

4) On admet que la fonction F admet une limite réelle en + 'linfini. On la note l:
Démontrer que 1/2ln(2) ≤ l ≤ 1/2
Réponse du 4) : Pour cette question il faut calculer la limite des 3 membres de l'encadrement précédent ainsi:
lim en + l'infini de 1/2ln(2)-1/2ln(1+e(2x) = (1/2)ln(2) car lim en + l'infini de e(-x) = 0
lim en + l'infini de 1/2-1/2e(-2x) = (1/2) car lim en + l'infini de e(-x) = 0
lim en + l'infini de F(x) = l

5) u est la suite définie, pour tout n € N, par :
Un = ∫  de n à n+1 ln(1+e(-2t)) dt

a)Démontrer que, pour tout n € N, on a :
0 ≤ Un ≤ ln (1+e(-2t))
b)Déterminer la limite de la suite u

Je n'ai pas réussi à traiter la question 5)a et 5)b

6)Pour tout n € N, on pose Sn = Uo+ U1 +... + Un
a) Exprimer Sn à l'aide de F et de n.
b)La suite (Sn) n € N est-elle convergente ?
Si oui, donner sa limite

Je n'ai pas réussi à traiter la question 6)a et 6)b

Je vous remercie d'avance pour votre aide

Cordialement lelecteur