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[Integrale et fonction périodique] pourquoi int a, a+T = int 0,T

Posté par
marine_
15-02-09 à 12:10

Bonjour à tous,

Il y a une propriété de l'intégrale qui dit que si une fonction est continue et périodique de période T, alors borné à a, a + T = borné à 0, T = borné à -T/2, T/2 ?

Car en gros, graphiquement (et uniquement graphiquement) je comprend que s'il est borné à a, a + T c'est le meme que s'il est borné à -T/2, T/2, mais quand je vois = borné à 0, T, graphiquement je ne pourrais affirmer que c'est la même aire.

> J'ai essayé en ajoutant ou retirant la période (puisque ça donnera la même chose) aux bornes mais je n'arrive pas au résultat escompté, il y a donc autre chose qui doit jouer ... ?

Pour précision et clarté l'exercice est le suivant :

Justifier que : (/2 ; 4/3) de cos3xsinx= (0, ) de cox3xsinx = (-/2 ; /2) = 0.

Je comprend qu'il est égale à 0 (propriété des intégrales de fonctions impaires, que je comprend du fait des propriétés des fonctions impaires), mais je ne vois pas comment on peut arriver à ce développement, c'est à dire ces nouvelles bornes qui donneront le même résultat à l'intégral que si on avait les précédentes.

Si vous pouviez éclairer ma lanterne !

Bises

Marine

Posté par
geo3
re : [Integrale et fonction périodique] pourquoi int a, a+T = in 15-02-09 à 14:39

Bonjour
(/2 ;4/3) de cos3x sinx dx n'est pas égal à 0
mais bien (/2 ;3/2) de cos3x sinx dx
en fait cos(3x).sin(x) est périodique de période
car cos(3+3x).sin(+x) = -cos(3x).(-sin(x)) = cos(3x).sin(x)
et on a toujours aussi (a ;a+) de cos3x sinx dx = 0  pour tout a
distance entre 0 et =
distance entre -/2 et /2 =
distance entre et 3/2 =
=>
(0 ;) cos3x sinx dx =0  et
(-/2 ;/23) cos3x sinx dx =0
A+

Posté par
marine_
C'est bien pi / 3 et non pi / 2 15-02-09 à 14:52

Bonjour, merci pour la réponse.
Je ne peux pas éditer donc je rectifie ici :

C'est (/3 ; 4/3) cos3xsinx et non avec /2 (Au Début tout du moins).

J'ai bien compris que l'écart est toujours de , mais il me semblait que l'on devait retrouver non un écart de lorsqu'une fonction est périodique (), mais juste une différence de k.

Donc si je comprend bien, tant que les bornes ont le même écart et si celui ci est égal à la période, on peut déplacer cet écart comme on veut ?

Je comprend pas trop, car selon moi, on pourrais arriver du début à la fin juste en additionnant k, ce que je n'arrive pas à faire...



Posté par
geo3
re : [Integrale et fonction périodique] pourquoi int a, a+T = in 15-02-09 à 15:04

Re
Une intégrale définie représente une aire
Si on a 1 fonction périodique soit la période = T . Si tes limites sont a et a+T tu obtiens une certaine aire disons A
Si tes limites sont a et a+kT tu obtiens une aire =  k.A
Dans ton cas précis comme c'est 0 tu as k.0 = 0
A+

Posté par
marine_
re : [Integrale et fonction périodique] pourquoi int a, a+T = in 15-02-09 à 15:45

Je vois ok, mais alors dans certains cas (fonctions non impaire) ça ne sera pas égal à 0 et là je ne comprend toujours pas.

Car j'ai une propriété qui généralise et dit que si f(x) est périodique de période T. Alors f(x)dx limité à (a, a+T) = f(x)dx limité à (-T/2 ; T/2).

Concrètement c'est ça que je ne comprend pas.

Posté par
geo3
re : [Integrale et fonction périodique] pourquoi int a, a+T = in 15-02-09 à 16:10

Re
On a bien dans tous les cas d'une fonction ( qu'elle soit impair, paire ou quelconque ) périodique
f(x)dx limité à (a, a+T) = f(x)dx limité à (-T/2 ; T/2).
Quand on fait le graphe limité à [a,a+T]  ou à [-T/2, T/2]  c'est la même aire
f est périodique ssi a | pour tout x  f(a+x) = f(x)
La période T est le plus petit des a 0
Ne cherchons pas midi à 14h
A+

Posté par
marine_
re : [Integrale et fonction périodique] pourquoi int a, a+T = in 16-02-09 à 13:56

l'explication graphique est ok, ce que je souhaiterai savoir c'est s'il existe une explication calculatoire (style une démonstration je ne sais pas) du fait que ça soit la meme aire et que pourtant on ai pas modifié les bornes de + kPI.

Posté par
geo3
re : [Integrale et fonction périodique] pourquoi int a, a+T = in 16-02-09 à 20:35

Re
Cela vient du fait de la périodicité
Si tu prends le graphe de 0 à T et que tu le translate de vecteur T tu retombes sur le même graphe de T à 2T
A+



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