Niveau Reprise d'études

intégrale et formules de Taylor

Posté par
jimo41 09-04-23 à 11:17

Bonjour à tous.
Je suis confronté à une question dans un exercice et j'avoue que je suis bloqué. Selon moi il faudrait utiliser une formule de Taylor mais je ne vois pas trop comment m'en sortir.
Si quelqu'un a une piste.
Merci d'avance.

$H(x) = \frac{1}{2x}\int_{-x}^{x}{f(t)dt}$ où f est de classe C1 et x non nul

J'ai démontré que $H'(x)=\frac{1}{2x^2} \int_{-x}^{x}{t f'(t)dt}$ pour x non nul

L'objectif est de prouver que H est dérivable en 0 et que H'(0)=0.

Une indication est d'utiliser $M_x = sup_{[-x,x]} | {f'(t)-f'(0) }|$

Posté par re : intégrale et formules de Taylor 09-04-23 à 12:03

Bonjour

Tu peux commencer par calculer $H(0)$

Posté par re : intégrale et formules de Taylor 09-04-23 à 12:11

En fait, j'ai trouvé en utilisant le fait que $\int_{-x}^{x}{f'(0) tdt} = 0$ et en majorant H'(x) et en utilisant le thm de la liite de la dérivée.
Merci encore.

Posté par re : intégrale et formules de Taylor 09-04-23 à 12:43

salut

comment trouves-tu H'(x) ?

Posté par re : intégrale et formules de Taylor 09-04-23 à 14:58

Bonjour, sur $\mathbb{R}*$ :

$H(x)= \frac{1}{2x} ( \int_{-x}^{x}{f(t)dt} )$

donc $H'(x) = \frac{-1}{2x^2} \int_{-x}^{x}{f(t)dt} + \frac{1}{2x} ( \int_{-x}^{0}{f(t)dt} + \int_{0}^{x}{f(t)dt )'$

et $H'(x) = \frac{-1}{2x^2} \int_{-x}^{x}{f(t)dt } + \frac{1}{2x} ( f(-x) + f(x) )$

il vient $H'(x) = \frac{1}{2x^2} ( xf(x) + xf(-x) - \int_{-x}^{x}{f(t)dt } )$

et par IPP, cela donne $H'(x) = \frac{1}{2x^2} \int_{-x}^{x}{tf'(t)dt}$

Je crois que je ne me suis pas trompé.

Posté par re : intégrale et formules de Taylor 09-04-23 à 15:02

Cela étant, je n'utilise pas les formules de Taylor et la consigne initiale indiquait l'exo comme une application, et je ne vois pas trop où les faire apparaître...

Posté par re : intégrale et formules de Taylor 09-04-23 à 17:36

ha d'accord merci beaucoup !!

j'en étais jusqu'à la ligne avant l'IPP auquel je n'ai pas pensé

pour le reste mais c'est je pense ce que tu as fait :

j'aurai écrit $H'(x) = \dfrac 1 {2x^2} \int_{-x}^x f'(t)tdt = \dfrac 1 {2x^2} \left( \int_{-x}^x tf'(0)dt + \int_{-x}^x t[f'(t) - f'(0)]dt \right)$

ce qui permet d'utiliser l'indication de ton premier post ...

Posté par re : intégrale et formules de Taylor 09-04-23 à 20:01

Citation :
L'objectif est de prouver que H est dérivable en 0 et que H'(0)=0.

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb R$ alors $F$ est $\mathcal C^2$ sur $\mathbb R$ et la formule de Tylor-Young à l'ordre $2$ en $0$ appliquée à $F$ s'écrit :

$\Large\boxed{F(x)=F(0)+xf(0)+\frac{f'(0)}{2}x^2+o(x^2)}$

ce qui s'écrit aussi en changeant $x$ en $-x$ :

$\Large\boxed{F(-x)=F(0)-xf(0)+\frac{f'(0)}{2}x^2+o(x^2)}$

d'où par différence :

$\Large\boxed{F(x)-F(-x)=2xf(0)+o(x^2)}$

ce qui signifie que dans un certain voisinage pointé de $0$ on a :

$\Large\blue\boxed{H(x)=f(0)+o(x)}$ ...