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Intégrale et Suite, un ravisant mélange

Posté par
sousou800
25-04-11 à 18:24

Bonsoir, J'ai un exercice où une question me pose quelque problème

Soit Un = nn+1 ln(1+e-2t)dt

a) soit h(t) = ln (1+e-2t) étudier le sens de variation
Ici aucun soucis, on voit qu'elle est décroissante

b) Démontrer que n, 0Unln(1+e-2n)
Ici, j'arrive à démontrer 0Un d'après les propriétés de l'intégrales, cependant pour tout démontrer je ne vois pas trop comment, j'ai essayé la récurrence mais je me retrouve bloqué pour démontrer Un+1, j'ai également essayé de calculer Un, cependant je trouve ln(1+e-2n)(2n-1) qui est donc supérieur ou égal et non inférieur ou égale comme demander

c) En déduire la limite de la suite (Un)
Ici aucun soucis aussi, c'est 0, théorème des gendarmes


Merci d'avances pour votre aide !

Posté par
olive_68
re : Intégrale et Suite, un ravisant mélange 25-04-11 à 18:31

Salut,

D'après a), sur [n,n+1], h(t) < h(n).

Posté par
chisuikafuku
re : Intégrale et Suite, un ravisant mélange 26-04-11 à 00:07

Bonsoir,

Etant donné que j'ai voulu poster la même question, et qu'en espérant trouver un post qui traite le sujet, je suis tomber sur ce post, qui est d'ailleurs en haut de la liste
Donc d'après les règles du forum, le multi-Post est interdit du coup je me sens embêté de poster la même question à côté d'un post similaire ... xD
Donc je viens entre autre, "m'incruster" si ça ne dérange pas
(Sousou ou olive dites le moi si ça vous embêtes je comprendrai !)

Donc oui, en refaisant un exercice similaire type BAC (non corrigé evidemment ...) je me suis trouver bloqué à cette question !

Donc Olive tu disais que si elle est décroissante pour tout t [n;n+1] :
h(t) h(n) en gros comme la fonction de départ est définie sur + et que l'integrale est de n à n+1 on peut dire ca ... ? C'est pas évident de faire la différence des variables n et t :/

Bon je continue d'après un théorème de la compatibilité de l'ordre de l'intégrale on à : (n;n+1) h(t)dt (n;n+1) h(n)dt
Donc comme h(n) n'a rien à voir avec la variable t on peut considérer que c'est un nombre fixe qui ne varie pas.

Donc : Un (n+1-n) f(n)

Et donc comme pour tout t + : 1+e^(-2t) 1
Donc h(t)   ln(1)
     h(t) 0

Donc on à l'expression qu'on cherche est ce que c'est ca ou je suis complétement à l'ouest ?

Merci d'avance !

Posté par
olive_68
re : Intégrale et Suite, un ravisant mélange 26-04-11 à 11:54

Salut,

Très bien.

Citation :
h(t) h(n) en gros comme la fonction de départ est définie sur + et que l'integrale est de n à n+1 on peut dire ca ... ?


Oui, quand on a une intégrale 3$\Bigint_a^b \, f on s'intresse qu'à la fonction entre a et b.
Comme f est décroissante, pour tout 3$t\ge n, \, \, f(n)\ge f(t), donc cette inégalité reste valable sur [n,n+1]
Et biensur le fait que f soit définie sur IR+ nous permet d'utiliser ces propriétés mais en même temps si elle n'était pas définie à cet endroit, u_n ne serait pas défini et l'exercice n'aurait pas de sens.

Posté par
chisuikafuku
re : Intégrale et Suite, un ravisant mélange 26-04-11 à 13:04

Re-Bonjour !

Okey c'est génial merciiiii !
Oui je vois le truc, n et n+1 sont des bornes du coup la variable t se balade dans cette intervalle, et comme h est décroissante on a l'encadrement

Merci, c'est super gentil d'avoir répondu en éspérant que Sousou800 soit convaincu

Bonne journée !!

Posté par
sousou800
re : Intégrale et Suite, un ravisant mélange 26-04-11 à 18:39

Bonsoir, Merci en tout cas, j'ai bien compris il faut donc montrer l'inégalité et calculer les intégrales des deux côtés ! Merci encore !



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