Bonjour à tous, j'ai réussi à faire toutes les questions à part les questions 4.a. et 4.b. qui me posent problème, je pense que pour la 4.a. il faut utiliser la relation de Chasles mais je ne sais pas vraiment comment m'y prendre. Pourriez vous m'aider s'il vous plaît ? Je vous remercie .

On considère la fonction f définie sur [0, +∞[ par f(x) = .

1. a. Calculer la dérivée de la fonction f

b. Déterminer sa limite en +∞

c. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

2. On définit la suite (U_n)par son terme général : U_n = intégrale de n à n+1 f(x) dx

a. Justifier que, si n ≤ x ≤ n + 1, alors f(n + 1) ≤ f(x) ≤ f(n).

b. Montrer, sans chercher à calculer U_n, que, pour tout entier naturel n,
f(n + 1) ≤ U_n ≤ f(n).

c. En déduire que la suite (U_n) est convergente et déterminer sa limite.

3. Soit F la fonction définie sur [0, +∞[ par F(x) = [ln(x + 3)]²

a. Déterminer, pour tout réel positif x, le nombre F′(x).

b. On pose, pour tout entier naturel n, I_n =intégrale de 0 à n f(x) dx.
Calculer In.

4.a.  On pose, pour tout entier naturel n, S_n= u₀+ u₁ + . . . + u_n-1.
Calculer S_n.

b.La suite (S_n) est-elle convergente ?