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Intégrale indéfinie

Posté par
NervaL928 05-08-14 à 22:39

Bien le bonjour,
Utilisant les intégrations par partie, j'ai voulu obtenir l'intégrale indéfinie de la fonction x \to ln(x) e^x. J'ai obtenu par récurrence ceci :
\int ln(x) e^x = ln(x) e^x + \sum_{i=1}^{\infty} (-1)^i \frac {(i-1)! e^x}{x^i}
Quelqu'un peut-il me dire si c'est juste s'il vous plaît ?
Merci d'avance ^^

Posté par
Glapion Moderateurre : Intégrale indéfinie 05-08-14 à 23:45

Bonsoir, Certainement pas, la série à droite diverge.

Il faudrait que tu explicites un peu mieux tes calculs si tu veux que l'on vérifie.

Posté par
NervaL928re : Intégrale indéfinie 06-08-14 à 14:49

Excusez-moi Glapion, j'aurai du poster les calculs avec... Encore désolé...
Sinon, j'ai refait les calculs, et j'ai obtenu un autre résultat, voyez :
En utilisant \int u v = u V - \int u' V, et en partant du principe que {(e^x)}^{(n)}=e^x,

\int ln(x) e^x dx = ln(x) e^x - \int \frac{1}{x}e^x dx = ln(x)e^x - \frac{e^x}{x}+\int - \frac{1}{x^2}e^x dx = ln(x)e^x - \frac{e^x}{x}-\frac{e^x}{x^2}-\int \frac{2}{x^3}e^x dx
= ln(x)e^x - \frac{e^x}{x}-\frac{e^x}{x^2}-\frac{2 e^x}{x^3}-\frac{6 e^x}{x^4}-\int \frac{24}{x^5}e^x dx = ...

Finalement,
\Large \int ln(x) e^x dx = ln(x) e^x - \sum_{i=0}^{\infty} {\frac {i! e^x}{x^{i+1}}}

Posté par
FrancchoixBizarre 06-08-14 à 15:17

Tu ne peux pas intégrer par parties; on obtiens rien d'intéressant; je pense aussi qu'il n'y a plus de (-1)^i dès la deuxième étape puisque  \int ln(x)e^xdx= ln(x)e^x- \int \frac{1}{x}e^xdx=ln(x)e^x-\frac{1}{x}e^x+\int \frac{1}{x^2}e^xdx=ln(x)e^x-\frac{1}{x}e^x+ \frac{1}{x^2}e^xdx+\int \frac{2}{x^3}e^xdx+-...
Donc il n'y que des +.
Ce qui est embêtant, c'est que tu vas obtenir une relation inexploitable! les termes de ta série vont tendre vers +oo! Très intéressant!

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrale indéfinie 06-08-14 à 15:30

S ln(x).e^x dx

Poser ln(x) = u ---> (1/x) dx = du
et poser e^x dx = dv --> v = e^x

S ln(x).e^x dx = e^x.ln(x) - S (e^x)/x dx

Mais e^x = 1 + x + x²/2! + ... + x^n/n! + ... et donc

e^x/x = 1/x + 1 + x/2! + ... + x^(n-1)/n! + ...
---
S ln(x).e^x dx = e^x.ln(x) - S (1/x + 1 + x/2! + ... + x^(n-1)/n! + ...) dx

S ln(x).e^x dx = e^x.ln(x) - S (1/x) dx - S (1 + x/2! + ... + x^(n-1)/n! + ...) dx

S ln(x).e^x dx = e^x.ln(x) - ln(x) - S (1 + x/2! + ... + x^(n-1)/n! + ...) dx

S ln(x).e^x dx = e^x.ln(x) - ln(x) - Somme(depuis n = 1 jusque +oo) [x^n/(n.n!)]

\int ln(x).e^x dx = e^x.(ln(x) - 1) - \Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n.n!}


F(x) = e^x.(ln(x) - 1) - \Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n.n!} est une primitive de f(x) = ln(x).e^x
-----
Sauf distraction.  

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrale indéfinie 06-08-14 à 15:33

Zut et rezut, lire à la fin de mon message précédent:

\int ln(x).e^x dx = ln(x).(e^x - 1) - \Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n.n!}

F(x) = ln(x).(e^x - 1) - \Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n.n!}

Sauf nouvelle distraction.  

Posté par
Glapion Moderateurre : Intégrale indéfinie 06-08-14 à 15:33

ha oui OK donc il n'y a pas de (-1)i
je comprends ton calcul mais il y a un problème car la série n!/x^(n+1) diverge (même si x>1) (voir critère de d'Alembert).
Donc il y a quelque chose que l'on a pas le droit de faire en passant à la limite. Je cherche quoi.

(et pourtant on a le droit d'écrire exln(x)dx = ex(ln(x)-1/x-1/x²-2/x3-6/x4-24/x5+O((1/x)6) j'ai vérifié, mais on ne peut pas passer à la limite.)

Posté par
Glapion Moderateurre : Intégrale indéfinie 06-08-14 à 15:57

Je comprends tes calculs J-P mais pourquoi n'a t-il pas le droit de continuer ses intégrations par parties (qui sont exactes) jusqu'à l'infini ?

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrale indéfinie 06-08-14 à 19:29

Je vais probablement dire une bêtise, tant pis.

On cherche une primitive ... Oui mais elles sont définies à une constante près, constante qui peut être aussi grande (en valeur absolue) qu'on veut.
Et ici, avec la série qui diverge, c'est un peu comme si la constante d'intégration était infinie. (quite à faire hurler les matheux).

La série que j'ai donnée, elle "converge" vers une primitive avec une constante finie... elle est donc "utilisable".

Mais cette opinion vaut ce qu'elle vaut.

Posté par
Francchoixproblème! 06-08-14 à 20:15

Qu'est ce qui prouve que \frac{1}{x} e^x soit développable en série entière; cette fonction ayant pour limite+oo En 0?

Posté par
Glapion Moderateurre : Intégrale indéfinie 06-08-14 à 23:43

Oui c'est ça en fait, la fonction n'est tout simplement pas développable en série entière.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrale indéfinie 07-08-14 à 09:56

e^x/x = 1/x + 1 + x/2! + ... + x^(n-1)/n! + ...

pour tout x différent de 0.

Et par de problème dans le problème posé puisque S ln(x).e^x dx n'est permise que pour x dans R*+

Posté par
Francchoixcomplément 07-08-14 à 11:27

\frac{e^x}{x}, n'est pas développable en série entière,mais g(x)=\frac{e^x-1}{x} semble l'être puisque l'on peut poser f(0) =1 il semble admettre en 0 des dérivées à tous les ordres (vérifié que pour f'(0)=1.

Donc on obtient   \int ln(x)e^x dx==ln(x)e^x-\int \frac{e^x}{x}dx=ln(x)e^x- \frac{e^x}{x}-\int\frac{e^x}{x^2}dx/= ln(x)e^x- \sum_{0}^{+oo}\frac{(n-1)! e^x}{x^n}, mais on ne fait pas apparaître \frac{e^x-1}{x}. On ne peut pas faire ce que l'ont veut avec les séries entières; quant a faire le produit d'une série entière par une fonction qui tend vers l'infini en 0, je ne crois pas avoir vu ce résultat!

Posté par
NervaL928re : Intégrale indéfinie 07-08-14 à 11:45

Bonjour bonjour,
Tout d'abord, je tiens à tous vous remercier pour chacune de vos réponses ! Les calculs de J-P sont un autre moyen d'aborder le problème, merci pour cet éclaircissement ! Et merci à Glapion et Francchoix qui me confirment que ce que j'ai trouvé en second résultat est correct
Finalement, je me rends compte qu'exprimer sous forme simple la primitive d'une telle fonction est une tâche plutôt ardue qui est sujette à débats...
En bref, merci encore à vous tous ! Je prendrai le temps de lire tous les messages que vous posterez (si messages il y a !), car le sujet m'intéresse ! Merci !

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrale indéfinie 07-08-14 à 11:48

La réponse donnée 06-08-14 à 15:30 et corrigée par celle du 06-08-14 à 15:33 serait-elle contestable ?

F(x) = ln(x).(e^x - 1) - \Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n.n!} est une primitive de f(x) = ln(x).e^x sur R*+

Pour moi, cette approche est correcte.

Posté par
NervaL928re : Intégrale indéfinie 07-08-14 à 12:07

Citation :
La réponse donnée 06-08-14 à 15:30 et corrigée par celle du 06-08-14 à 15:33 serait-elle contestable ?

Aucunement ! Je suis d'accord avec le fait que cette approche est juste ! C'est juste que c'est un autre moyen de voir le problème, qui est d'ailleurs mieux puisque le terme général de la somme dans la primitive est plus facile à utiliser, puisque plus simple
Mais comme à chaque fois, il y a plusieurs façons différentes d'arriver à résoudre la question !

D'ailleurs, j'ai un peu de mal à cerner la fonction de dx par exemple, et en ce qui concerne les changements de variable pour intégrer... Là aussi je débute ^^' C'est-à-dire que je devrais encore avoir le niveau d'un fin de première...

PS : je suis en train de penser que l'on cherche à intégrer une fonction, donc on peut développer cette primitive en série de Taylor (ou de Maclaurin) vu qu'on connait déjà la dérivée ? Juste une idée comme ça, en passant, j'essaye dès que je rentre à la maison...

Posté par
FrancchoixD'accord 07-08-14 à 14:06

Après réflexion, je pense que tu as raison parce que finalement tu utilises le développement de x->\frac{e^x-1}{x} qui ne pose pas de problème, donc en fait en mettant à part le ou les termes posant problèmes tu travailles avec deux fonctions, l'une intégrable et l'autre développable en série entière sur R, donc ça marche. par contre on aurait eu ln^2(x)e^x, on aurait été coincé parce qu'une fonction développable en série entière ne serait pas apparue, donc on ne pourrait pas intégrer terme à terme.
Donc finalement je retiens ta méthode. Merci

Posté par
NervaL928re : Intégrale indéfinie 07-08-14 à 21:36

Je suis bête parce que j'ai parlé de développement en Série de Maclaurin, mais c'est impossible à cause de ln(0)... Pas non plus moyen de prolonger la fonction...
Sinon j'ai réussi à développer \int ln(x) e^x dx en Série de Taylor en 1, ça donne ça :

\Large \int ln(x) e^x dx = \sum_{i=0}^{\infty}{(-1)^{i+1}\lambda_i \frac{e}{i!}(x-1)^i -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n.n!}}
Avec \lambda_n est le n-ième nombre de la suite n°A002741 de l'OEIS, celle des nombres logarithmiques (lien : )

La preuve : en gros, on obtient les dérivées successives de ln(x)e^x (avec ), et le calcul de l'image de 1 par ces dérivées successives correspond à la somme des coefficients constants à x^n en facteur de la deuxième exponentielle au numérateur, étant successivement les \lambda_n de notre développement.
Pour le calcul de l'image de 1 par la primitive que l'on souhaite développer, on utilise ce qu'à trouvé J-P, à savoir ln(1) \times e^1 = 0 et -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n.n!}=... C'est simplifiable ? J'imagine que oui, j'ai programmé un algo vit'uf sur mon PC et j'ai eu -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n.n!} \approx -1,644930776 (je l'ai fait tourner pour n allant de 1 à 300 000 environ, après 2h30, ça converge pas très très vite, et ce doit être plus encore que ce que j'ai eu, mais pas de beaucoup ).

Intégrale indéfinie

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrale indéfinie 08-08-14 à 09:00

-1,6449... me semble bien bizarre.

En faisant la somme pour n de 1 à 10 de 1/(n.n!), on trouve 1,31790215
et de plus 1/(10*10!) = 2,7557319224.10^-8

Il va sans dire que 1/(n.n!) diminue por n augmentant et donc si on fait le somme depuis n = 1 jusque 300000, la somme sera < 1,31790215 + (300000-10)*2,7557319224.10^-8 = 1,326...

Ton résultat de 1,6449... est donc faux.

Sauf distraction, la somme semble converger très rapidement vers 1,31790215

Posté par
Francchoixconfirmation 08-08-14 à 14:18

Bonjour,

cette série converge encore plus vite que e=\sum_{0}^{+oo}\frac{1}{n!} !

D'ailleurs j'ai très vite atteint la limite de la calculatrice avec 1,31790215145446...

en fait tu dois pouvoir avoir très vite 100 décimales ou plus avec un calculateur adapté.

Posté par
NervaL928re : Intégrale indéfinie 08-08-14 à 18:07

Ah ben ça doit être parce que j'ai soustrait les \frac{1}{n.n!} au lieu de les ajouter... L'erreur conne ! Sinon, le developpement en lui-même est-il bon ?

PS : t'utilises quoi comme calculatrice pour obtenir des résulats avec 15 chiffres après la virgule ?

Posté par
NervaL928re : Intégrale indéfinie 08-08-14 à 18:20

PPS (pas d'edit possible) : au pire on s'en fout du 1.317... vu que l'on développe une primitive, définie à une constante près

Posté par
FrancchoixPrécision 08-08-14 à 19:16

Juste une TI 82, ce qu'on impose à tous les élèves dans mon lycée.

Posté par
NervaL928re : Intégrale indéfinie 08-08-14 à 19:36

x) Perso ma TI 83+ fait pas mieux que 9 digits...

Posté par
Francchoixaide 08-08-14 à 21:00

Ta calculatrice doit travailler avec 13 ou 14 décimales; donc si tu affiche \pi tu auras 3,141592654, mais tu enlèves 3,141, tu auras les décimales en réserve; donc \pi=3,1415926535898...on ne pourra pas faire mieux. il y a des logiciels, même géoébra qui te proposent 20 ou 30 décimales et avec Xcas c'est encore mieux!

Posté par
NervaL928re : Intégrale indéfinie 09-08-14 à 11:17

Bah perso avec Geogebra, j'ai pas plus de deux décimales sans qu'il fasse d'arrondi (il va écrire l'arrondi de la valeur mais quand même traiter celle qui a été écrite, mais c'est chiant... Il y a pas d'ailleurs un plug-in ou quelque chose qui gère ça ?)
^^ Je crois qu'on dérive un peu de notre sujet, faisons-nous intégrer de nouveau ! (blague du siècle)

Posté par
Francchoixindication 09-08-14 à 15:35

Juste une précision; avec géogébra on peut fixer le nombre de décimales que l'on veut et il est rapide (par contre le calcul formel, c'est pas terrible); sinon, si tu veux toutes les décimales de pi avec ta TI; tu affiches pi puis tu fais pi-3,1415 et tu verras apparaître 4 décimales de plus.

Posté par
NervaL928re : Intégrale indéfinie 09-08-14 à 21:40

D'accord, ça me sera bien utile ^^
Merci bien !


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