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Niveau école ingénieur
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Intégrale multiple

Posté par
Meedfried
27-10-20 à 17:35

Bonjour,

Je dois calculer l'aire de ce losange avec un changement de variable.

Avec V= X-Y et W = X+Y
D'après le dessin -T/2< X=Y < T/2

Je suis donc la formule de changement de variable et je calcule le jacobien = 1/2 .
Cependant je ne sais pas comment trouver les nouvelles bornes d'intégration en V et W ...
Même chose sur le changement de variable donné ...

Pourriez vous m'expliquer ? Merci bcp

Intégrale multiple

**image recadrée sur la figure** utiliser les moyens mis à disposition pour écrire les maths** [lien]

I=\int\int_D \text{e}^{-|x-y|}\text {d }x \; \text{d }y

Posté par
carpediem
re : Intégrale multiple 27-10-20 à 17:43

salut

les somets du losange ont pour coordonnées (1, 1)

Posté par
verdurin
re : Intégrale multiple 27-10-20 à 17:55

Bonsoir,
Intégrale multiple
l'ancien repère en bleu, le nouveau en rouge.

Posté par
Meedfried
re : Intégrale multiple 27-10-20 à 17:56

Je suis désolé mais je n'ai pas compris,
Donc x et y sont bornés par +-1 ?

Posté par
Meedfried
re : Intégrale multiple 27-10-20 à 20:03

Merci ,
Donc du coup je sais quoi faire mais je reste tjs bloqué avec les bornes de v et w...
Je n'arrive pas à trouver le bon résultat

Posté par
verdurin
re : Intégrale multiple 27-10-20 à 20:46

Tu peux chercher, dans le repère de départ, les équations des droites qui contiennent les côtés du losange ( ici c'est même un carré ).
Par exemple :
      quelle est l'équation de la droite passant par les points (0;T/2) et (T/2;0) ?
      quelle est l'équation de la droite passant par les points (0;-T/2) et (T/2;0) ?

Posté par
Meedfried
re : Intégrale multiple 28-10-20 à 17:56

J'ai donc pour équation
Y= -x + T/2
Et
Y= x - T/2

Posté par
Meedfried
re : Intégrale multiple 28-10-20 à 17:57

Donc maintenant je pense qu'il faut trouver les encadrements de v et w ?

Posté par
verdurin
re : Intégrale multiple 28-10-20 à 20:20

Je réécrirais volontiers tes équations

x+y=T/2 et -x+y=T/2

Posté par
Meedfried
re : Intégrale multiple 29-10-20 à 21:29

Donc le changement de variable vient de là, merci

W = T/2 et V = T/2
Je fais donc même chose pour les autres côtés
V= - T/2 et W= -T/2

J'intègre avec V constant (carré de côté T)

\int_{-T/2}^{T/2}{} \int_{-T/2}^{T/2}{} exp (-v) * 1/2  dv dw

Il y a certainement quelque chose de faux...

Posté par
verdurin
re : Intégrale multiple 29-10-20 à 22:17

Tu as oublié la valeur absolue.

Posté par
Meedfried
re : Intégrale multiple 29-10-20 à 22:38

Ah oui! Mais ici elle n'a pas d'importance, si?

Je trouve donc ce résultat :
 1/2 *( -exp(-T/2) + exp(T/2)  ) * T      

Posté par
verdurin
re : Intégrale multiple 29-10-20 à 22:51

Il me semble que \int_{-a}^a \mathbf{e}^{-v}\text{d}v est assez différent de \int_{-a}^a \mathbf{e}^{-|v|}\text{d}v

Posté par
Meedfried
re : Intégrale multiple 29-10-20 à 22:59

Oui, c'est différent

Donc pour ce cas ci, le résultat n'est donc pas bon ?

Posté par
Meedfried
re : Intégrale multiple 31-10-20 à 18:31

Bonsoir,

Le résultat change t il ? Ou le résultat est juste

Posté par
verdurin
re : Intégrale multiple 31-10-20 à 19:06

Fait le calcul.

Posté par
Meedfried
re : Intégrale multiple 31-10-20 à 19:58

Donc une s'annule et l'autre pas.

J'ai donc refait le calcul en prenant en compte la valeur absolue.
J'ai donc divisé l'intégrale sur V en deux intégrales (-T/2 ; 0 ) et (0 ; T/2 ).
Car dans le premier intervalle -|v| = v (v négatif)
Et dans le 2eme -|v| = - v (v positif )

J'obtiens donc
T/2 ( [ exp v ] + [ -exp(-v) ] )

Et donc T ( 1 - exp (-T/2 ))

C'est bien cela ?

Posté par
verdurin
re : Intégrale multiple 31-10-20 à 20:38

Je crois que c'est bon, mais je ne suis pas vraiment en forme ce soir et mon avis peut facilement être mauvais.

Posté par
Meedfried
re : Intégrale multiple 31-10-20 à 20:47

D'accord, merci bcp de votre aide.
Bon rétablissement !



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