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Intégrale triple - méthodologie

Posté par
Vougier 13-06-23 à 17:50

Bonjour !

Je me retrouve embêté par le sujet suivant .

Calculer l'intégrale triple :

\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{D}^{}{xy^2dxdydz}

dont D = {(x, y, z) \epsilon \R^3  ;  x\geq0,  y\geq0,  z\geq0,  x+y+z\leq1}

Je connais le résultat de cette intégrale, à savoir \frac{1}{360}. Mais c'est la méthodo que j'ai du mal à appliquer.

Je sais qu'il faut en premier lieu fixer x et y, et que z va varier de 0 à 1-x-y.

Cela donne : I_1(x, y) = \int_{0}^{1-x-y}{dz}  \Rightarrow I_1(x, y) = [z]^{1-x-y}_{0}  \Rightarrow I_1(x, y) = 1-x-y.

Puis je dois intégrer sur y de 0 à 1-x, I_1(x, y).

Mais je dois vous avouer que je ne sais pas si je dois multipler I_1(x, y) par y^2, ou bien y = I_1(x, y).

Dois-je poser \int_{0}^{1-x}{(1-x-y)y^2dy} ou bien \int_{0}^{1-x}{(1-x-y)^2dy} ?

Une âme charitable pour me guide, je vous prie ?

Ondulatoirement vôtre.

Vougier

Posté par
larrechre : Intégrale triple - méthodologie 13-06-23 à 19:09

Bonjour,

La suite consiste à calculer

\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{D'}^{}{xy^2(1-x-y)dxdy

Avec D' défini par x\geq0, x+y\leq1

Posté par
larrechre : Intégrale triple - méthodologie 13-06-23 à 19:19

Pardon

\int\int_{D'}{xy^2(1-x-y)dxdy

Il y avait un signe \int de trop

Posté par
larrechre : Intégrale triple - méthodologie 13-06-23 à 19:23

et D' défini par x\geq0, y\geq0, x+y\leq1

Il fait chaud...

Posté par
Vougierre : Intégrale triple - méthodologie 13-06-23 à 20:05

Parfait donc on retrouve :

I_2(x) = \int_{0}^{1-x}{(y^2-xy^2-y^3)dy} \\ \\ I_2(x) = [\frac{y^3}{3}-\frac{y^3}{3}x-\frac{y^4}{4}]^{1-x}_0 \\ \\ I_2(x) = \frac{(1-x)^3}{3}-\frac{(1-x)^3}{3}x-\frac{(1-x)^4}{4}

Il nous manque à intégrer sur x.

I_1 = \int_{0}^{1}{(\frac{(1-x)^3}{3}-\frac{(1-x)^3}{3}x-\frac{(1-x)^4}{4})xdx

Je me demande si l'on doit faire un changement de variable comme t = 1-x

avec dt = - dx.

Posté par
larrechre : Intégrale triple - méthodologie 13-06-23 à 21:06

L'expression sous le signe somme se simplifie :

I_1 = \int_{0}^{1}\dfrac{(1-x)^4}{12}x dx

oui, le calcul est plus rapide en faisant le changement de variable t=1-x.

Posté par
Vougierre : Intégrale triple - méthodologie 13-06-23 à 21:35

Pardonnez-moi larrech, je manque un peu de connaissance. Je n'arrive pas à voir comment vous avez simplifier pour trouver

I_1=\int_{0}^{1}{\frac{(1-x)^4}{12}xdx}

Pour ce qui est de la suite, on pose :

t = 1-x \Leftrightarrow dt =-dx,  x = 1-t

I_1 = \int_{0}^{1}{\frac{t^4}{12}(1-t)dt}} \\ \\ I_1 = \int_{0}^{1}{(\frac{t^4}{12}-\frac{t^5}{12})dt} \\ \\ I_1 = [\frac{t^5}{60}-\frac{t^6}{72}]^{1}_0 \\ \\ I_1 = \frac{1}{360}

Sinon merci pour tout larrach

Posté par
larrechre : Intégrale triple - méthodologie 13-06-23 à 22:08

Une simple mise en facteur

I_2(x) = \dfrac{(1-x)^3}{3}-\dfrac{(1-x)^3}{3}x-\dfrac{(1-x)^4}{4} \\ \\ I_2(x) =(1-x)^3 (\dfrac{1}{3}-\dfrac{x}{3})-\dfrac{(1-x)^4}{4}

I_2(x) =(1-x)^3 (\dfrac{1-x}{3})-\dfrac{(1-x)^4}{4}= \dfrac{(1-x)^4}{12}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Intégrale triple - méthodologie 14-06-23 à 08:18

Bonjour,
@Vougier,
Attention, le multipost n'est pas toléré sur l'île :

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?


Le minimum que tu puisses faire est de signaler dans l'autre site que tu as reçu une réponse ailleurs.


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