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Intégrale : Un calcul en plusieurs étapes
On se propose de calculer l'intégrale:
(sur l'intégrake a désigne 0 et b désigne 1 )
I= [0;1] 
(xe^x)/(1+e^x)^3 dx
1) Calculer les intgégrales A= [0;1] (e^x)/(1+e^x) dx et B=[0;1] (e^x)/(1+e^x)² dx
2) Déterminer les réels a,b,c tels que pour tout nombre t0, on ait 1/(1+t)² = a + (bt/1+t) + (ct/(1+t)²)
3) a. En posant t=e^x dans l'égalité précédente, exprimer l'intégrale I= [0;1] 1/(1+e^x)² dx en fonction de A et B
b. Calculer I
4) a. A l'aide d'une intégration par parties, exprimer J en fonction de I
b. En déduire la valeur de l'intégrale J
c. A l'aide de la calculatrice, donner l'arrondi de J au centième.
Pourriez-vous m'aider pour la question 2 svp? merci
donne tes premières réponses
qu'as-tu trouvé pour la 1) ?
pour la 2) réduire au même dénominateur et choix des constantes pour que les numérateurs soient égaux quel que soit t
Bonjour, pour la 2) tu réduis a + bt/(1+t) + ct/(1+t)² au même dénominateur et tu identifies les coefficients des termes avec ceux de 1/(1+t²) ça te fait 3 équations en a,b,c assez simples à résoudre.
Alors dhalte pour les intégrales A et B je trouve :
A=ln((e+1)/2)
et B= (-1+e)/2(1+e)
Etes vous d'accord avec ces résultats ?
Je suis bloqué à la question 2, j'ai mis au même dénominateur, j'obtiens : (a(1+t)^2 + bt(1+t) + ct) / (1+t)^2. Mais je n'arrives pas à identifier a,b et c par rapport à 1/(1+t)².
tu développes , au numérateur ça donne 
(a+b)t²+(2a+b+c)t+a et donc tu en déduis que a+b=0 2a+b+c=0 et a=1 car ça doit être égal à 1/(1+t)² pour tout t. et donc tu en déduis a=1;b=-1 et c=-1 et donc que 1/(1+t)²=1-t/(1+t)-t/(1+t)²
Quel est le choix le plus judicieux à la 4a) pour u'(x) et v(x) et obtenir u(x) et v'(x) et par la suite intégrer par parties ?
J'ai remplacé dans l'équation les valeurs de A et B que j'ai trouvé plus ( que tu as confirmé), j'ai mis au même dénominateur ( 2(1+e) ) puis j'ai simplifié et j'arrive à : 3+e/ 2(1+e)
Ben non, si A=ln((e+1)/2) = ln(1+e)-ln(2) et B= (-1+e)/2(1+e)=1/2-1/(1+e) alors I=1-A-B=1-1/2+1/(1+e)+ln(2)-ln(1+e)=1/2+1/(1+e)+ln(2)-ln(1+e), c'est bien ce que j'avais marqué.
Désolé, je viens de vérifier, tu as bien raison. Pour intégrer J tu penses qu'il est judicieux (voir même possible) de prendre u'(x) = 1/(1+e^x)^3 et v(x)=xe^x ? car dans ce cas v'(x) serait égale à e^x(1+x) en revanche u(x) me parait difficile à calculer, d'où mes doutes quant au choix à faire.
il faut prendre u=x et v'(x)=ex/(1+ex)3 ce v' est de la forme dy/y3 (avec y=1+ex) donc v(x)=-1/(2(1+ex)2) et donc en intégrant par partie, tu va retomber sur I
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