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Intégrales

Posté par
boubou01 14-04-07 à 20:48

Hello all^^ De retour avec un autre exo sur les intégrales mais cette fois ci avec des suites à l'intérieur^^

(U_n) est la suite définie pour tout entier naturel n non nul par :

U_n = \int_0^{2} \frac{2t+3}{t+2}e^{\frac{t}{n}}dt.

1.a) est la fonction définie sur [0;2] par (t) = \frac{2t+3}{t+2}.
Etudiez les variations de .

   b) Déduisez-en que \frac{3}{2}n(e^{\frac{2}{n}} - 1) U_n \frac{7}{4}n(e^{\frac{2}{n}} - 1).

   c) On rappelle que \lim_{h\to \0} \frac{e^h - 1}{h} = 1. Prouvez que si (U_n) admet une limite l, alors 3 l \frac{7}{2}.

2.a) Vérifiez que pour tout réel t dans [0;2] :

\frac{2t+3}{t+2} = 2 - \frac{1}{t+2}.

Déduisez-en I = \int_0^{2} \frac{2t+3}{t+2}dt.

   b) Prouvez que pour tout t dans [0;2], 1 e^{\frac{t}{n}} e^{\frac{2}{n}}.

Déduisez-en que I U_n e^{\frac{2}{n}}I.

   c) Prouvez que la suite (U_n) est convergente et précisez sa limite l.

Donc voila j'ai essayé de faire la meilleure présentation possible

J'ai fait la question 1.a) mais bon je suis pas sûr si je devais prendre l'intervalle [-\infty;+\infty] ou tout simplement l'intervalle [0;2] donc si qqun peut vérifier mon tableau de variations bah ca serait sympa^^

\begin{tabular}{c|ccccccc}t&-\infty& &-2& &\frac{-3}{2}& &+\infty\\\hline phi'(t)& &+&&+&||&+&\\phi&&\nearrow&||&\nearrow&0&\nearrow&\\\end{tabular}

J'ai remarqué qu'il était pas possible de mettre dans ce tableau les limites que j'ai calculé ..

Voila donc si qqun pouvait m'aider pour la suite ca serait sympa

Posté par
Cauchyre : Intégrales 14-04-07 à 20:52

Tiens un seine et marnais

Pour la 1)a) limite toi à [0,2] c'est ce qui nous intéresse.

Ensuite tu trouves que c'est croissant donc dans l'intégrale tu peux minorer par la valeur en 0 et majorer par la valeur en 2.

Posté par
boubou01re : Intégrales 14-04-07 à 21:21

Hé oui un seine et marnais

1.a) Mon tableau devient ca :

\begin{tabular}{c|ccc}t&0& &2& \\\hline phi'(t)&&+&\\phi&&\nearrow&\end{tabular}

Et pour les limites je trouve :

\lim_{t\to 0} (t) = \frac{3}{2}

\lim_{t\to 2} (t) = \frac{7}{4}

(C'est de là qu'apparaissent les \frac{3}{2} et \frac{7}{4} de la question suivante^^)

b) Donc si j'ai bien compris ton raisonnement, j'ai :

\frac{3}{2} \frac{2t+3}{t+2} \frac{7}{4}.

Puis je multiplie par e^{\frac{t}{n}} (le sens de l'inéquation ne change pas car e^{\frac{t}{n}} > 0) et j'intégre :

\int_0^{2} \frac{3}{2}e^{\frac{t}{n}} dt U_n \int_0^{2} \frac{7}{4}e^{\frac{t}{n}} dt.

Donc je calcule les intégrales du 1er et 3eme membre de l'inéquation et j'ai :

\frac{3}{2}ln(n)e^{\frac{2}{n}} pour le 1er membre.

\frac{7}{4}ln(n)e^{\frac{2}{n}} pour le 3eme membre.

Donc je crois que je me suis bien planté xD Pourrais tu m'aider ?

Posté par
Cauchyre : Intégrales 14-04-07 à 21:25

Oui tu as bien compris le raisonnement cependant tu fais une erreur dans le calcul à la fin il n'y a pas de log,quelle est la primitive de e^(t/n)?

Posté par
boubou01re : Intégrales 14-04-07 à 21:26

J'ai mis que c'était ln(n)e^{\frac{t}{n}} .

Posté par
Cauchyre : Intégrales 14-04-07 à 21:29

Non tu intègres en t,il n'y a pas de ln(n),la primitive de e^(at) avec a constante(ici 1/n joue ce role) c'est quoi?

Posté par
boubou01re : Intégrales 14-04-07 à 21:35

Bah heu \frac{1}{n}e^{\frac{t}{n}} nan ?

Posté par
Cauchyre : Intégrales 14-04-07 à 21:35

Non dérive ca fait apparaitre 1/n² c'est pas ce que l'on veut.

Posté par
boubou01re : Intégrales 14-04-07 à 21:40

Heu alors si j'ai bien compris cette fois-ci j'ai \frac{3}{2}(\frac{-e}{n^2}) et \frac{7}{4}(\frac{-e}{n^2}) .. mais je ne vois pas comment arriver au résultat donné dans l'énoncé .. les expressions ne se ressemblent même pas .. j'ai essayé de développer les expressions données en énoncé pour arriver aux 2 résultats que j'ai donné précédemment mais j'y arrive pas .. a moins que j'ai encore faux

Posté par
Cauchyre : Intégrales 14-04-07 à 21:44

Reprenons calmement il te faut une primitive de e^(at) avec a constante.

Ici on a e^(t/n), si tu prends comme primitive e^(t/n) en dérivant tu obtiens 1/ne^(t/n) donc il y a un 1/n qui nous gêne donc il faut le multiplier par ...

Posté par
boubou01re : Intégrales 14-04-07 à 21:51

Par n ? oO

Et j'ai remarqué que j'ai fait une erreur bete avant T_T.

Enfin bon j'ai donc \frac{3}{2}(n\frac{1}{n}e^{\frac{t}{n}}) ?

Puis j'obtiens \frac{3}{2}(e^{\frac{2}{n}})- \frac{3}{2} d'où \frac{3}{2}(e^{\frac{2}{n}} - 1) mais il me manque un n .. où est l'erreur ?

Posté par
Cauchyre : Intégrales 14-04-07 à 21:56

Doucement doucement

Quand tu primitives tu as ne^(t/n) on est d'accord?

Et tu prends ca entre 0 et 2 donc ...

Posté par
boubou01re : Intégrales 14-04-07 à 22:02

Ha ouii que je suis bete pour la primitive .. que je suis nul en maths dire que j'ai le concours pour l'ESIEA samedi prochain bah ca va etre drole^^

Oui donc avec cette primitive j'ai bien trouvé :

\frac{3}{2}n(e^{\frac{2}{n}} - 1) U_n \frac{7}{4}n(e^{\frac{2}{n}} - 1).

Pour la c) donc si j'ai bien compris il me demande de calculer la limite de \frac{3}{2}n(e^{\frac{2}{n}} - 1) et celle de \frac{7}{4}n(e^{\frac{2}{n}} - 1).

L'aide donnée dans l'énoncé me parait utile mais je ne vois pas qui joue le role de h dans ces 2 expressions ..

Posté par
Cauchyre : Intégrales 14-04-07 à 22:05

Un changement de variable est utile vu que la limite est quand h tend vers 0.

Or ici on a n qui tend vers l'infini,donc 1/n qui tend vers 0(en fait il faut travailler avec 2/n ici).

Mais non t'es pas nul

Un conseil essaie d'être plus attentif pour ton concours et de pas aller trop vite

Posté par
boubou01re : Intégrales 14-04-07 à 22:15

Heuu le changement de variable consiste en quoi ? J'ai eu ca en controle dernierement et je n'ai pas su quoi faire .. je dois changer le n dans l'expression par \frac{2}{n} ?

Sisi je t'assure je suis bien nul

Posté par
Cauchyre : Intégrales 14-04-07 à 22:33

Pour te ramener à la limite quand h tend vers 0,tu dis que comme 2/n tend vers 0 alors la limite de 3$\frac{e^{\frac{2}{n}}-1}{\frac{2}{n}} est 1 quand n tend vers l'infini.

Posté par
boubou01re : Intégrales 14-04-07 à 22:43

J'ai essayé de résoudre la question mais en fait je n'ai rien compris Si tu pouvais re-expliquer stp

Posté par
Cauchyre : Intégrales 14-04-07 à 22:58

En fait on va utiliser les gendarmes,si Un converge alors nécessairement la limite sera comprise entre la limite de 3/2n(e^(2/n)-1) et l'autre.

Donc il faut calculer ces limites,pour cela il faut la limite de n(e^2/n-1) et il faut procéder comme dans mon dernier message.

Posté par
boubou01re : Intégrales 15-04-07 à 00:17

Citation :
En fait on va utiliser les gendarmes,si Un converge alors nécessairement la limite sera comprise entre la limite de 3/2n(e^(2/n)-1) et l'autre.

Donc il faut calculer ces limites,pour cela il faut la limite de n(e^2/n-1) et il faut procéder comme dans mon dernier message.


J'avais compris cela

Ce que je n'ai pas compris c'est comment se servir de la formule donnée dans l'énoncé pour réussir à résoudre la question J'ai même pas remarqué mais il commence a se faire tard^^

Posté par
anonymere : Intégrales 15-04-07 à 00:19

en fait Cauchy, le changement de variable n'est pas dans le programme de terminale !

Posté par
Cauchyre : Intégrales 15-04-07 à 00:21

Salut hatimy ,

c'est pas un changement de variable dans une intégrale,on pose simplement h=2/n qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini et on applique le rappel pour trouver ce qui est demandé.

Posté par
boubou01re : Intégrales 15-04-07 à 00:41

Heu ca te dit de passer à la question suivante ? Ca fait plus de 10 minutes que je me casse la tete a essayer de comprendre xD

Ce qui me gene le plus c'est le rappel. Il y a un h en dénominateur qui me trouble. Et dans n(e^{\frac{2}{n}}-1) bah il n'y a pas de dénominateur .. enfin bon je me casse trop la tete pour rien je le sens lol

Posté par
Cauchyre : Intégrales 15-04-07 à 00:48

Non remarque simplement que diviser par 2/n revient à multiplier par n/2

Posté par
boubou01re : Intégrales 15-04-07 à 01:00

Citation :
Non remarque simplement que diviser par 2/n revient à multiplier par n/2


Cette remarque m'a grandement aidé xD

Donc \frac{3}{2}n(e^{\frac{2}{n}}-1) = 3(\frac{e^{\frac{2}{n}}-1}{\frac{2}{n})

Donc la limite de \frac{e^{\frac{2}{n}}-1}{\frac{2}{n} c'est 1 d'après le rappel d'où :

3 l \frac{7}{2} (j'ai pas tout rédigé parce qu'il se fait tard xD)

Donc pour la 2.a) j'ai fait la premiere partie de la question qui est toute simple. Pourrais tu m'expliquer comment en déduire ce I qui sort de je ne sais où lol

Posté par
Cauchyre : Intégrales 15-04-07 à 01:02

Citation :
Cette remarque m'a grandement aidé xD


Et oui encore un fameux théoreme belge cher à kaiser

L'idée est d'utiliser la décomposition pour primitiver les deux membres séparément.

Posté par
boubou01re : Intégrales 15-04-07 à 01:11

Haaa en fait je dois calculer l'intégrale ?

Si c'est ca bah la réponse c'est 2 - ln2 nan ? A moins que je me suis trompé dans la primitive de \frac{1}{t+2} ><

Posté par
Cauchyre : Intégrales 15-04-07 à 01:16

Oui c'est la question

Tu es sur de ton résultat?

4-ln(4)+ln(2)=4-2ln(2)+ln(2)=4-ln(2).

Posté par
boubou01re : Intégrales 15-04-07 à 01:20

Heu donc apparement on est d'accord pour le - ln (2) ^^ La primitive de 2 c'est bien t nan ? Donc au final on a bien 2 nan ?

Posté par
boubou01re : Intégrales 15-04-07 à 01:21

Ooops désolé du double post mais tu as raison xD La primitive de 2 c'est 2t d'où le 4 dans ta réponse^^

Posté par
Cauchyre : Intégrales 15-04-07 à 01:25

Oui c'est bien ca

On y est presque

Posté par
boubou01re : Intégrales 15-04-07 à 01:26

Donc j'ai fait la b) qui était plutôt facile car les encadrements étaient plutôt simple par rapport à d'habitude^^ Maintenant je bute sur la question finale ><

Posté par
Cauchyre : Intégrales 15-04-07 à 01:28

Passe à la limite en n dans l'inégalité et utilise les gendarmes

Posté par
boubou01re : Intégrales 15-04-07 à 01:33

Dans quel inégalité en fait ? Y'en a tellement que je commence a perdre la tete^^ Faire des maths a 1h30 c'est pas tres pratique^^

Posté par
Cauchyre : Intégrales 15-04-07 à 01:47

Dans la toute dernière avec le deduisez en

Posté par
boubou01re : Intégrales 15-04-07 à 01:56

Heu bah j'ai lim I lim U_n lim e^{\frac{2}{n}}I

Or \lim_{n\to 0} e^{\frac{2}{n}} = e^0 = 1

D'où : lim I lim U_n lim I

C'est ça nan ? xD

Posté par
Cauchyre : Intégrales 15-04-07 à 02:08

Oui gendarmes lim Un=I et comme tu as calculé I t'as gagné le droit d'aller te couché bien joué

Posté par
boubou01re : Intégrales 15-04-07 à 02:14

MDR !

Je te remercie infiniment seine et marnais^^ (enfin plus précisément je suis un lognot^^)

A la prochaine Et bonnuit ^^

Posté par
Cauchyre : Intégrales 15-04-07 à 02:15

Ahah je suis aussi lognot

Posté par
boubou01re : Intégrales 15-04-07 à 02:17

LoL !

Plutôt drôle quand même Tu dois pas me connaître vu que tu dois avoir 5 ans de plus que moi

Tu es sûrement allé au Collège la Mailliere^^ Enfin bref on a pas le droit de flooder ici nan ? ^^ Encore merci (Quelle coïncidence quand même^^ 2 Lognots^^)

Posté par
Cauchyre : Intégrales 15-04-07 à 02:20

Oui Collège de la Maillière,monsieur Barthes en prof xD

5ans peut etre pas et tu peux flooder c'est ton topic et je flood souvent

Posté par
boubou01re : Intégrales 15-04-07 à 02:21

MDR !

M. Barthes je l'ai eu en 4eme je crois^^ Un des meilleurs eleves de ma classe d'ailleurs. Cette époque est révolue depuis mon entrée au lycée^^

Posté par
Cauchyre : Intégrales 15-04-07 à 02:23

Oui il était sympa,quel lycée la?

Posté par
boubou01re : Intégrales 15-04-07 à 02:24

Lycée Emily Bronte qui est super quand même^^ Mais que je suis nul en maths

Posté par
Cauchyre : Intégrales 15-04-07 à 02:30

Oui c'est près de chez moi,mais ca a ouvert juste après que je bouge

Posté par
boubou01re : Intégrales 15-04-07 à 02:31

LoL^^ T'es où en ce moment toii ?

Posté par
Cauchyre : Intégrales 15-04-07 à 02:32

L'universite de Marne La Vallée

Posté par
boubou01re : Intégrales 15-04-07 à 02:34

Et tu as une licence de quoi en ce moment ?

Posté par
Cauchyre : Intégrales 15-04-07 à 02:36

Maitrise de maths

Posté par
boubou01re : Intégrales 15-04-07 à 02:36

Ha ok xD Donc c'etait du gateau pour toi cet exo =p Jprefere largement la Physique-Chimie

Posté par
Cauchyre : Intégrales 15-04-07 à 02:41

Oui c'était pas trop dur

T'es en spé physique?

T'as raté l'arithmétique dans ce cas mal t'en as pris

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