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Intégrales et suites
Bonjour à tous,
j'ai un exercice que je n'arrive pas à finir.
Voici l'énoncé :
Pour tout entier naturel n, on définit l'intégrale In par :
Io = 
(de 0 à 1)e1-xdx et si n
1,In = (de 0 à 1)xne1-xdx.
a. Calculer la valeur exacte de Io. (J'ai trouvé Io = e-1)
b. Soit, pour tout entier n2 et tout x de 
, la fonction gn définie sur par : gn(x) = xne1-x. Montrer que, pour tout entier n2 tout x de , g'n+1(x) = (n+1)gn(x)-gn+1(x). En déduire que pour tout entier naturel n : In+1 = -1+(n+1)In. (Pas de problème pour cette question)
c. En déduire la valeur exacte de I1, puis celle de I2. (J'ai trouvé I1 = e-2 & I2 = 2e-5)
d.i) Déterminer le sens de variation de la suite (In).
C'est à cette question que je bloque, et j'aurais bien besoin d'aide.
Merci d'avance !
Bonsoir cdabrowski,
De toute évidence tu vas devoir montre que (ln)n est décroissante.
Pour ce faire généralement deux méthodes sont privilégiées pour les suites :
-soit tu montres que un+1/un
1
-soit tu montres que un+1-un0
Le quotient est ici mal choisi.
Penchons nous plutôt vers la différence. La relation entre ln+1 et ln ne semble pas directement aider à priori.
En revanche si tu montres que gn+1(x)-gn(x)0 sur [0,1] alors le passage à l'intégrale ne changeant pas l'inégalité c'est gagné !
Bonne soirée !
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