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Intégrales liées

Posté par
soso31tls
08-04-21 à 12:35

Bonjour, je ne comprends pas un exercice malgré le fait que j'ai essayé. Est ce que vous pourriez m'aider s'il vous plaît ? Merci d'avance

soit I={0}∫{1} 1/(√(x^2 )+2)dx
J= {0}∫{1} x^2/(√(x^2 )+2)dx
K={0}∫{1} √(x^2+2)dx
On considère la fonction f définie par f(x)=ln(x+√(x^2+2))

1.a. Justifier que la fonction f soit définie sur [0;1]
1.b. Calculer la dérivée de la fonction f sur [0;1]
1.c. En déduire la valeur de I
2.a. Sans calculer les intégrales, vérifier que J+2I=K
2.b. Montrer que K=√3 - J
2.c. En déduire les valeurs de J et de K

J'ai commencé à essayer de résoudre cet exercice:
J'ai répondu aux deux premières questions:

1.a. La fonction ln est définie sur |0;+∞| et la fonction racine carrée est définie sur |0;+∞|, donc la fonction f est définie sur [0;1]

1.b. f est  dérivable
f'(x)=(1+2x/(2√(x^2+2)))/(x+√(x^2+2))

Après je n'ai pas réussi

Posté par
carpediem
re : Intégrales liées 08-04-21 à 13:07

salut

1a/ reste bien imprécis

ln est définie sur ]0, +oo[
est définie sur [0, +oo[

mais tu ne justife pas que f est définie sur l'intervalle demandé ...

1b/ il faudrait peut-être simplifier ...

Posté par
soso31tls
re : Intégrales liées 08-04-21 à 14:05

Je sais pas comment préciser pour la question 1.a et pour la question 1.b est ce que c'est 1+2x^2 +x

Posté par
carpediem
re : Intégrales liées 08-04-21 à 14:14

quand tu écris ln [u(x)]  que dois-tu donc vérifier ?

dérivée incompréhensible ...

Posté par
soso31tls
re : Intégrales liées 08-04-21 à 14:27

Pour les ln on doit vérifier quand ce qu'il y a dans le ln est supérieur à 0, je l'ai fait mais je trouve quand x>2.
Je me suis trompée pardon, est ce que c'est mieux 1+2x^2-4x*√(x^2+2)

Posté par
carpediem
re : Intégrales liées 08-04-21 à 14:49

toujours aussi faux les deux ...

Posté par
soso31tls
re : Intégrales liées 08-04-21 à 15:02

Ah euh ben je vois pas, est ce que vous pourriez m'aider s'il vous plaît ?

Posté par
carpediem
re : Intégrales liées 08-04-21 à 15:04

f(x) = ln [u(x)]

peux-tu :

1/ écrire proprement u(x) ?
2/ résoudre l'inéquation u(x) > 0 ? (ou iic plus simplement montrer que u(x) > 0)

3/ calculer (et simplifier) u'(x)  ?
4/ calculer (et simplifier) f'(x) ?

Posté par
soso31tls
re : Intégrales liées 08-04-21 à 15:26

u(x)=x+√(x^2+2)=x+1/2*x^2+1
x^2 est toujours positif donc u(x)>0 ssi x>0
u'(x)=1+x
d'où f'(x)=(1+x)/(1/2*x^2+1)

Posté par
carpediem
re : Intégrales liées 08-04-21 à 17:06

soso31tls @ 08-04-2021 à 15:26

u(x)=x+√(x^2+2)=x+1/2*x^2+1  faux
x^2 est toujours positif donc u(x)>0 ssi x>0   faux
u'(x)=1+x    faux
d'où f'(x)=(1+x)/(1/2*x^2+1)   donc faux

Posté par
carpediem
re : Intégrales liées 08-04-21 à 17:08

u(x) = x + \sqrt {x^2 + 2}  épictou !!!

1/ signe de u(x) ?  (aide : montrer que c'est strictement positif)

2/ dérivée de u(x) ?

3/ dérivée de f(x) ?

Posté par
soso31tls
re : Intégrales liées 08-04-21 à 18:34

Est ce qu'on peut dire que u(x) est strictement positif car la racine carrée est strictement positive et qu'elle sera forcément plus grande que x ?
J'y arrive pas à la dérivée

Posté par
carpediem
re : Intégrales liées 08-04-21 à 19:55

c'est ce qu'il faut prouver correctement !!!

aide : travailler par inégalité ...

Posté par
soso31tls
re : Intégrales liées 08-04-21 à 21:39

on le prouve comme ça :
x+√(x^2+2) >0
√(x^2+2) > -x

Posté par
carpediem
re : Intégrales liées 09-04-21 à 08:10

là tu n'as rien fait ...

Posté par
soso31tls
re : Intégrales liées 09-04-21 à 10:41

Je vous remercie de votre aide mais j'y arrive pas, je vais abandonner.

Posté par
carpediem
re : Intégrales liées 09-04-21 à 11:52

pour tout réel x :

2 > 0 => x^2 + 2 > x^2 => \sqrt {x^2 + 2} > \sqrt {x^2}   (1)

or \sqrt {x^2} = |x|  et par définition de la valeur absolue |x| \ge -x

donc (1)  => \sqrt {x^2 + 2} > - x \iff x + \sqrt {x^2 + 2} > 0

donc f est définie sur R donc sur l'intervalle [0, 1]

...



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