salut

pour la premiere question, il faut deriver u a partir de u(x)=V(x²+1) -x

u'(x)=x/V(x²+1)  -1 = [x-V(x²+1)]/V(x²+1) = -u(x)/V(x²+1)

je pense que la question 1 est indispensable pour la suite .

en effet :
u'(x)=-u(x)/V(x²+1)

pour tout x dans R u(x) different de 0.
raisonnement par l'absurde :
il existe x dans R tel que u(x)=0

V(x²+1)-x=0
donc V(x²+1)=x
donc x²+1=x²
donc 1=0 contradiction.
donc pour tout x dans R u(x) different de 0

u'(x)=-u(x)/V(x²+1)

donc comme u(x) different de 0 :

u'(x)/u(x)=-1/V(x²+1)

donc x->ln( |u(x)| ) est une primitive de -1/V(x²+1) sur R.

donc f(x)=ln( |u(x) |) -ln(|u(0)|) ln(|u(x)|)
comme u(x)>0  (pour le voir tableau de variatio de u ou bien on multiplie et on divise u(x) par V(x²+1)+x )
on a f(x)=ln(u(x))

du fait que f'(x)=-1/V(x²+1) la fonction f est decroissante sur R.
lim f(x)=-oo
x->+oo
le probleme en +oo est l'indeterminee pour V(x²+1)-x qu'on leve en multipliant et en divisant par V(x²+1)+x

lim f(x)=+oo sans probleme majeur ici.
x->-oo

a verifier.
a+