Niveau Prepa (autre)

Intégrales trigo

Posté par
matheux14 18-04-22 à 14:22

Bonjour,

Calculer $I_1 =\int  \sin^5 (x) \cos^7 (x) dx$ et $I_2 = \int \sin^4(x) \cos^6(x) dx$

$I_1 =\int  \sin^5 (x) \cos^7 (x) dx$

On a : $\sin^5 (x) \cos^7 (x) = \cos^7(x) .(\sin²(x).\sin²(x).\sin(x)) = \cos^7(x) (1-\cos²(x)).\sin(x) = (\cos^7(x) -2\cos^9(x)+\cos^{11}(x)).\sin(x)$

$I_1 =\int  \sin^5 (x) \cos^7 (x) dx = \int (\cos^7(x) -2\cos^9(x)+\cos^{11}(x)).\sin(x) dx = \dfrac{2}{10} \cos^{10}(x) -\dfrac{1}{8} \cos^8(x) -\dfrac{1}{12} \cos^{12}(x)$

$\boxed{I_1 = \dfrac{1}{5} \cos^{10}(x) -\dfrac{1}{8} \cos^8(x) -\dfrac{1}{12} \cos^{12}(x)}$

$I_2 = \int \sin^4(x) \cos^6(x) dx$

$\sin^4(x) \cos^6(x) = \cos^6(x) - 2\cos^8(x) + \cos^{10}(x)$

Linéarisation à l'aide des formules d'Euler : $\cos^x = \dfrac{e^x + e^{-ix}}{2}$

$\cos^6(x) = \dfrac{1}{64} (2\cos(6x) +30 \cos(2x) + 12\cos(4x) +20)$

$\cos^8(x) = \dfrac{1}{256}(112\cos(2x)+56\cos(4x) + 16 \cos(6x) + 2 \cos(8x) + 70)$

$\cos^10 (x) = \dfrac{1}{256} (2 \cos(10x) + 20 \cos(8x) + 90 \cos(6x) +240 \cos(4x) +420\cos(2x) +252)$

$\boxed{I_2 = \dfrac{1}{256}\left(\dfrac{\sin(10 x)}{20} + \dfrac{\sin(8 x)}{8} -\dfrac{\sin(6 x)}{4} - \sin(4x) +\dfrac{\sin(2 x)}{2}\right)}$

Posté par re : Intégrales trigo 18-04-22 à 15:25

salut

1/ ne pas oublier que la dérivée de cos est -sin ... n'aurais-tu pas oublier des signes - ?

Posté par re : Intégrales trigo 18-04-22 à 15:32

Non non..

Posté par re : Intégrales trigo 19-04-22 à 16:41

Bonjour;
une autre approche

$\int {{{\sin }^5}x} {\cos ^7}xdx = \int {{{\sin }^5}x} {\cos ^4}x{\cos ^3}dx\\ \\ \sin x = t\\ \\ \cos xdx = dt\\ \\ dx = \frac{{dt}}{{\cos x}}\\ \\ \int {{t^5}{{(1 - {t^2})}^2}{{\cos }^3}x} \frac{{ - dt}}{{\cos x}} = \int {{t^5}{{(1 - {t^2})}^2}{{\cos }^2}x} dt\\ \\ \int {{t^5}{{(1 - {t^2})}^3}dt = \frac{{10{t^{12}} - 36{t^{10}} + 45{t^8} - 20{t^6}}}{{120}}} = \frac{{{{\sin }^{12}}x}}{{12}} - \frac{{3{{\sin }^{10}}x}}{{10}} + \frac{{3{{\sin }^8}x}}{8} - \frac{{{{\sin }^6}x}}{6} + C$

Posté par re : Intégrales trigo 19-04-22 à 18:29

Bonsoir,

Un petitre carré oublié :
$\cos^7x\sin^2x\sin^2x\sin x=\cos^7x(1-\cos^2x)^2\sin x$

Posté par re : Intégrales trigo 25-04-22 à 13:48

Citation :
Bonjour,

Calculer $I_1 =\int  \sin^5 (x) \cos^7 (x) dx$ et $I_2 = \int \sin^4(x) \cos^6(x) dx$

$I_1 =\int  \sin^5 (x) \cos^7 (x) dx$

On a : $\sin^5 (x) \cos^7 (x) = \cos^7(x) .(\sin²(x).\sin²(x).\sin(x)) = \cos^7(x) (1-\cos²(x)).\sin(x) = (\cos^7(x) -2\cos^9(x)+\cos^{11}(x)).\sin(x)$

$I_1 =\int  \sin^5 (x) \cos^7 (x) dx = \int (\cos^7(x) -2\cos^9(x)+\cos^{11}(x)).\sin(x) dx = \dfrac{2}{10} \cos^{10}(x) -\dfrac{1}{8} \cos^8(x) -\dfrac{1}{12} \cos^{12}(x)$

$\boxed{I_1 = \dfrac{1}{5} \cos^{10}(x) -\dfrac{1}{8} \cos^8(x) -\dfrac{1}{12} \cos^{12}(x) + {\red{C}}}$

$I_2 = \int \sin^4(x) \cos^6(x) dx$

$\sin^4(x) \cos^6(x) = \cos^6(x) - 2\cos^8(x) + \cos^{10}(x)$

Linéarisation à l'aide des formules d'Euler : $\cos^x = \dfrac{e^x + e^{-ix}}{2}$

$\cos^6(x) = \dfrac{1}{64} (2\cos(6x) +30 \cos(2x) + 12\cos(4x) +20)$

$\cos^8(x) = \dfrac{1}{256}(112\cos(2x)+56\cos(4x) + 16 \cos(6x) + 2 \cos(8x) + 70)$

$\cos^10 (x) = \dfrac{1}{256} (2 \cos(10x) + 20 \cos(8x) + 90 \cos(6x) +240 \cos(4x) +420\cos(2x) +252)$

$\boxed{I_2 = \dfrac{1}{256}\left(\dfrac{\sin(10 x)}{20} + \dfrac{\sin(8 x)}{8} -\dfrac{\sin(6 x)}{4} - \sin(4x) +\dfrac{\sin(2 x)}{2} + {\red{3x +C}} \right)}$