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Intégration

Posté par
sami-dh 20-05-09 à 01:16

Salut à tous

Je me bloque sur une questio,et je voudrai un coup de main:
Soit a un nombre de]0,\frac{\pi}{2}[
Tout d'abord j'ai démontré que \int_{0}^{1}\frac{1}{x^2-2xcos(a)+1} dx =\frac{\pi-a}{2sin(a)}

Puis j'ai démontré que pour tout x de ]0,1[
Intégration

Puis j'ai démontré que pour tout x de [0,1] Intégration (Im veut dire l'imaginaire)

Maintenant je voudrai,déduire à partir de ce qui précède,la relation suivante:

Intégration

Comment faire ??

Merci beaucoup

Posté par
MataHitiennere : Intégration 20-05-09 à 09:23

Salut !

Lol, c'est du niveau terminale ça ?

Alors voilà ce que j'ai fait... Je n'ai pas forcément explicité toutes les étapes, et je me suis occupée de deux termes en même temps. S'il y a des choses dont tu te demandes d'où elles viennent, n'hésite pas à demander...

5$ \begin{align} \\ \frac{\pi-a}{2} &=\sin(a)\cdot\frac{\pi-a}{2\sin(a)} \\ \\ &=\int_0^1 \frac{\sin(a)}{x^2-2x \cos(a)+1} ~dx\\ \\ &=\int_0^1 \text{Im}\left(\frac{e^{ia}}{1-xe^{ia}}\right) ~dx \\ \\ &=\text{Im}\left(\int_0^1 \frac{e^{ia}}{1-xe^{ia}} ~dx\right) \quad \star \\ \\ &=\text{Im}\left(\int_0^1 \left[\sum_{k=0}^{n-1} x^ke^{ika}+\frac{x^ne^{ina}}{1-xe^{ia}}\right] ~dx\right) \\ \\ &=\text{Im}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\int_0^1 x^ke^{ika} ~dx+\int_0^1 \frac{x^ne^{ina}}{1-xe^{ia}} ~dx\right) \\ \\ &=\text{Im}\left(1+\sum_{k=1}^{n-1}e^{ika} \int_0^1 x^k ~dx\right)+\text{Im}\left(\int_0^1 \frac{x^ne^{ina}}{1-xe^{ia}} ~dx\right) \\ \\ &=\text{Im}\left(1+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{e^{ika}}{k}\right)+\int_0^1 \text{Im}\left(x^n \cdot \frac{e^{ina}}{1-xe^{ia}}\right) ~dx \quad \star\star \\ \end{align}


On a \star car l'intégrale d'une partie imaginaire est la partie imaginaire de l'intégrale. Il me semble que quelqu'un l'avait montré dans un sujet sur l'ilemaths, faudra que je le retrouve...

On a \star\star, car j'ai sorti le terme en k=0. Qui aurait posé problème par rapport à l'intégration.


Bon, mimetex ne veut plus me laisser continuer avec des lignes supplémentaires lol

et j'ai besoin d'y réfléchir un peu. Je pourrais faire ça sur pdf, ce serait plus clair. À toi de voir.


Ptet à ce soir

Posté par
hypatiere : Intégration 20-05-09 à 10:17

Bonjour,

J'arrive à peu près au même résultat sauf que, dans la sommation, il n'y a pas besoin de sortir le k=0 car en intégrant xk, on a xk+1/(k+1).
Donc la sommation est décalée de 1 et va bien de 1 à n.

En revanche, dans l'intégrale, j'arrive à xn.sin(na)-x.sin((n-1)a) au numérateur.

Qu'en pensez-vous ?

Posté par
MataHitiennere : Intégration 20-05-09 à 14:14

oups pas fait gaffe

j'verrai ça ce soir lol

Posté par
MataHitiennere : Intégration 20-05-09 à 21:08

Ok, j'ai une question...

Pourquoi (pi-a)/2 ne dépend pas de n, alors que le terme de droite dépend de n ?

Et aussi, comme l'a fait remarquer hypatie, la somme commencerait à 1 et non 0.

Et hypatie, comment tu trouves ça dans l'intégrale ? :p

Posté par
MataHitiennere : Intégration 20-05-09 à 21:09

J'allais oublier : donc sami-dh, peux-tu voir si tout l'énoncé est correct ? :s

Posté par
sami-dhre : Intégration 22-05-09 à 23:10

Salut

Désolé je vais revoir tout ça demain et je rectifierai si il y a des erreurs

Merci

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration 23-05-09 à 00:04

Bonsoir,

Citation :
4$\frac{e^{ia}}{1-xe^{ia}}=\Bigsum_{k=0}^{n-1}x^ke^{ika}+\frac{x^ne^{ina}}{1-xe^{ia}}


Je crois qu 'il s' agit plutôt de:

4$\frac{1}{1-xe^{ia}}=\Bigsum_{k=0}^{n-1}x^ke^{ika}+\frac{x^ne^{ina}}{1-xe^{ia}}

Du coup, en multipliant les intégrales de MataHitienne par e^{ia} (quand les sommes commencent), je crois que tout va mieux.

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration 23-05-09 à 14:26

Re,

Mais au final, j' ai plutôt:

4$\frac{\pi-a}{2}=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{\sin\,(ak)}{k}+\Bigint_0^1\frac{x^n\left[\sin\,(n+1)a-x\,\sin\,na\right]}{x^2-2x\cos\,a+1}\,\text{d}x

Citation :
Pourquoi (pi-a)/2 ne dépend pas de n, alors que le terme de droite dépend de n ?


Une somme de deux termes dépendant de n peut être indépendante de n

Citation :
Et hypatie, comment tu trouves ça dans l'intégrale ? :p


Hypatie a multiplié haut et bas par 1-xe^{-ia}

Posté par
MataHitiennere : Intégration 23-05-09 à 22:03

ouaip, c'étaient des questions bêtes lol

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration 24-05-09 à 00:45

Ouais, bon, pour être tout à fait honnête, j' ai profité de vos échanges, hypatie et toi, pour tirer les marrons du feu

En clair, il est facile de se pointer en tant qu' inspecteur des travaux finis...

Posté par
MataHitiennere : Intégration 24-05-09 à 15:57

Citation :
En clair, il est facile de se pointer en tant qu' inspecteur des travaux finis...

Bien d'accord !

C'est ma spécialité d'habitude

Posté par
cailloux Correcteurre : Intégration 24-05-09 à 15:59


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