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intégration

Posté par audreys (invité) 17-08-05 à 19:57

bonjour, j'essaie de calculer:
A=sin²x*cosx dx (de 0 à /2)
A=(1-cos (2x))/2 * cos x (de 0 à /2)
A=[1/2 sin x - (cos (2x) * sin (x))/2](de 0 à /2) - sin x * sin (2x) (de 0 à /2).
je n'arrive pas a trouver: sin x * sin (2x).
Faut il que je fasse une nouvelle intégration par partie? si oui, quelle fonction doit être considérée comme primitive?

J= (cos x - sin x ) / (cos x + sin x) (de 0 à /2)
Pour calculer J ,faut il que je fasse une intégration par partie?
merci pour vos réponses

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : intégration 17-08-05 à 20:06

S sin²(x).cos(x) dx

Poser sin(x) = t
cos(x) dx = dt

S sin²(x).cos(x) dx = S t²dt = t³/3 = (1/3).sin³(x)

A = (1/3)[sin³(x)]de 0 à Pi/2

A = (1/3).(1 - 0)

A = 1/3
-----

Si tu n'as pas appris la méthode ci-dessus (par changement de variables).

Il suffit de s'appercevoir que avec f(x) = sin³(x)

on a f '(x) = 3.sin²(x).cos(x)

Une primitive de sin²(x).cos(x) est donc (1/3).sin³(x)
-----
Sauf distraction.  

Posté par
lyonnaisre : intégration 17-08-05 à 20:09

salut audrey :

Pourquoi ne pas utiliser que sin²(x) = 1-cos²(x) ?

tu obtiens donc :

sin²(x).cos(x)
=
(1-cos²(x)).cos(x)
=
cos(x)-cos3(x)

Là, tu peux linéariser cos3(x)

tu trouves :

cos3(x) = (1/4).cos(3x) + (3/4).cos(x)

et après tu peux trouver une primitive ...

romain

Posté par
lyonnaisre : intégration 17-08-05 à 20:20

je confirme le résulat de J-P :

f(x) = cos(x) - cos3(x)
f(x) = cos(x) - (3/4).cos(x) - (1/4).cos(3x)
f(x) = (1/4).cos(x) - (1/4).cos(3x)

F(x) = (1/4).sin(x) - (1/12).sin(3x)

\rm \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) = \frac{1}{4}+\frac{1}{12} = \frac{1}{3}

++ sur l'
romain

Posté par
Nightmarere : intégration 17-08-05 à 20:21

Bonjour

Ta solution est bonne lyonnais mais un peu longue non ?

La deuxiéme méthode de J-P est bien.

On peut aussi reconnaitre la forme :
3$\rm u'.u^{2} avec u=sin


Jord

Posté par
lyonnaisre : intégration 17-08-05 à 20:25

Tu as raison Jord , mais bon j'avais commencé un truc, alors j'ai voulu finir

A mon avis :

-  la solution 2 de J-P est la meilleure si on arrive à voir qu'une primitive est (1/3).sin3(x)

-  La solution 1 de J-P a l'air cool, mais je n'ai pas encore vu le changement de variable

-  Ma solution est la dernière a prendre en compte, mais je l'aime bien quand même !

romain

Posté par
Nightmarere : intégration 17-08-05 à 20:31

Et la mienne alors ? :'(

Autre solution : poser le changement de variable 3$\rm t=\frac{1}{3}sin^{3}(x)


Jord

Posté par
cinnamonre : intégration 17-08-05 à 20:31

Salut tout le monde ,
pour l'intégrale J, on reconnait la forme \frac{u'}{u} avec u(x) = cos(x)+sin(x). Une primitive de u est donc de la forme ln|u|...

Posté par
Nightmarere : intégration 17-08-05 à 20:33

Audreys une remarque, je vois que pour les deux sommes, ta premiére réaction a été l'intégration par partie... attention, il ne faut pas que tu vois l'IPP comme la seule porte de sortie d'une intégration, au contraire, bien réfléchir à tout ce qui pourrait t'éviter de passer par une IPP avant de la faire.


Jord

Posté par
lyonnaisre : intégration 17-08-05 à 20:36

j'adore ton changement de variable Jord,

Et je suis d'accord avec toi : il faut essayer d'éviter l'IPP le plus possible !

++ sur l'
romain

Posté par
Nightmarere : intégration 17-08-05 à 20:39

Merci

Posté par
cinnamonre : intégration 17-08-05 à 20:41

"j'adore ton changement de variable Jord "

Moi je le trouve pas mal mais un peu tiré par les cheveux,   quand on n'a pas la solution, ça ne saute pas aux yeux...

Par contre quand il y a du cosinus et du sinus, les règles de Bioche ça marche presque à tous les coups (au pire y a tg(x/2) !).


à+

Posté par
Nightmarere : intégration 17-08-05 à 20:42

Oui cinnamon, c'était capillo-tracté en effet, mais c'était fait exprés


Jord

Posté par
lyonnaisre : intégration 17-08-05 à 20:43

>> cinnamon :

A mon avis, Jord blaguait qund il disais ça

Je sais que c'est un extra-terrestre pour son âge, mais qaund même

romain

Posté par
cinnamonre : intégration 17-08-05 à 20:49

Je sais bien qu'il blaguait lyonnais, t'inquiète pas ....

Ce qui serait encore plus drôle, ce serait de voir la tête du prof qui corrigerait cette intégrale et qui verrait ce changement de variable tomber comme un cheveu sur la soupe...

Bon, je vais m'arrêter là parce que ça va faire trop salon de thé.

Bonne soirée.

Posté par audreys (invité)re : intégration 17-08-05 à 20:55

merci pour vos réponses.

Posté par
lyonnaisre : intégration 17-08-05 à 20:58

" Ce qui serait encore plus drôle, ce serait de voir la tête du prof qui corrigerait cette intégrale et qui verrait ce changement de variable tomber comme un cheveu sur la soupe ... "

lol , c'est vrai que ce serait le top

ça lui en boucherait un coin au prof ...

romain


Posté par
Nightmarere : intégration 17-08-05 à 21:09

De rien audreys

La prochaine fois, cherche plus avant de poster ton exo sur l'île (ou sur maths-forum ou sur .....)


jord

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : intégration 18-08-05 à 08:35

Audrey, tu devrais commencer à être un peu plus autonome.
Souviens-toi des suites \lim u_n

(Premier point : as-tu bien vérifié que le dénominateur sous l'intégrale ne s'annulait jamais dans l'intervalle d'intégration ?)

Avant de sortir l'artillerie lourde, c'est-à-dire :
- intégration par parties
- changement de variable
essaie de reconnaître des situations connues :
\frac{u'}{u}, u'.u^n, ...

Pour la J, la façon la plus simple est, comme l'a proposé cinnamon à 20h31 de reconnaître une forme \frac{u'}{u} :
\Bigint_0^{\pi/2} \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} dx
= \Bigint_0^{\pi/2} \frac{(\cos x + \sin x)'}{\cos x + \sin x} dx
= [\ln | \cos x + \sin x |]_0^{\pi/2} = ln(1) - ln(1) = 0

Même si tu ne voyais pas cela du premier coup, tu pouvais t'en sortir avec les formules de trigonométrie de base :
\cos p + \cos q = 2\cos \frac{p+q}{2} \cos \frac{p-q}{2}
Donc \cos x - \sin x = \cos x + \cos(x+\frac{\pi}{2})=2\cos(x+\frac{\pi}{4})\cos\frac{\pi}{4}
De même \cos x + \sin x = \cos x + \cos(\frac{\pi}{2}-x)=2\cos(x-\frac{\pi}{4})\cos\frac{\pi}{4}

Donc :
\Bigint_0^{\pi/2} \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} dx
= \Bigint_0^{\pi/2} \frac{2\cos(x+\frac{\pi}{4})\cos\frac{\pi}{4}}{2\cos(x-\frac{\pi}{4})\cos\frac{\pi}{4}} dx
= \Bigint_0^{\pi/2} \frac{\cos(x+\frac{\pi}{4})}{\cos(x-\frac{\pi}{4})} dx
= \Bigint_0^{\pi/2} \frac{-\sin(x-\frac{\pi}{4})}{\cos(x-\frac{\pi}{4})} dx
on retrouve une forme \frac{u'}{u}, mais encore plus visible
= \Bigint_0^{\pi/2} \frac{(\cos(x-\frac{\pi}{4}))'}{\cos(x-\frac{\pi}{4})} dx
= [\ln| \cos(x-\frac{\pi}{4}) |]_0^{\pi/2}=\ln\frac{\sqrt{2}}{2}-\ln\frac{\sqrt{2}}{2}=0

Je le répète, la solution de cinnamon est évidemment meilleure. Je voulais juste te montrer qu'il existe souvent plusieurs solutions pour s'en sortir...

Nicolas


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