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Intégration

Posté par
FerreSucre 07-01-21 à 18:49

Bonsoir j'ai vue dans un exercice une intégrale version suite, et je me suis dit pourquoi pas la résoudre, vous allez me dire si c'est correct ^^ :

I(n) = \int_{0}^{1}{\dfrac{t^n}{t+1}dt

Par changement de variable :

u = t+1
du = dt

I(n) = \int_{1}^{2}{\dfrac{(u-1)^n}{u}du

Avec la loi binomiale :

I(n) = \int_{1}^{2}{\dfrac{\sum_{k=0}^{n}{\left(_k\right^n)u^{n-k}(-1)^k}}{u}du}

I(n) = \int_{1}^{2}{\sum_{k=0}^{n}{\left(_k\right^n)u^{n-k-1}(-1)^k}du}

I(n) = \int_{1}^{2}{\sum_{k=0}^{n}{\left(_k\right^n)u^{n-k-1}(-1)^k}du}

I(n) = \int_{1}^{2}{\sum_{k=0}^{n-1}{\left(_k\right^n)u^{n-k-1}(-1)^k} + \dfrac{1}{u}du}

I(n) = \left(\sum_{k=0}^{n-1}{\left(_k\right^n)\dfrac{2^{n-k}(-1)^k-(-1)^k}{n-k}\right)+(-1)^nln(2)

I(n) = \left(\sum_{k=0}^{n-1}{\left(_k\right^n)\dfrac{(2^{n-k}-1)(-1)^k}{n-k}\right)+(-1)^nln(2)

Est-ce correct ? Et si oui \forall{n}\in\N, n \geq 1 ?

Posté par
FerreSucrere : Intégration 07-01-21 à 19:02

Le binôme de Newton* Merci bonne soirée

Posté par
carpediemre : Intégration 07-01-21 à 19:10

salut

sauf erreur de calcul c'est correct !!! je veux dire par là que qu'à priori c'est bon et que j'aurai fait commetoi

il manque cependant le facteur (-1)^n à 1/u ...

Posté par
matheuxmatoure : Intégration 07-01-21 à 19:12

bonsoir

oui, ça me semble bon aussi... avec cet oubli , mais qui est rectifié la ligne suivante

Posté par
FerreSucrere : Intégration 07-01-21 à 19:12

Ah oui 😂 j'ai oublié ici mais je l'ai mis après sur les autres ^^ mais ducoup c'est vrai pour n \geq 1 ?

Posté par
FerreSucrere : Intégration 07-01-21 à 19:23

Ah si je viens de voir que :

I(0)=ln(2)

Ma formule est-elle vrai pour n=0 ?  La somme de k = 0 à -1 c'est possible ? Elle vaut 0 dans ma formule ou c'est impossible ? Si c'est impossible à quel moment de mon raisonnement je passe à n \geq 0 ?

Merci beaucoup

Posté par
FerreSucrere : Intégration 07-01-21 à 19:24

À quel moment je passe à n \geq 1 pardon ^^

Posté par
FerreSucrere : Intégration 07-01-21 à 20:13

Wolframalpha me donne 0 pour un truc du style \sum_{k=0}^{-n} avec n\in N

Posté par
FerreSucrere : Intégration 09-01-21 à 17:33

??


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