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Intégration

Posté par
PainOchocolat
27-04-21 à 16:07

Bonjour,
Voici l'énoncé de l'exercice :
On considère la fonction  fn définie sur R par :
f n (x)=(x+2)e^ -nx est un entier naturel non nul. On note Cn sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité graphique 4 cm
1. a. Déterminer la limite de la fonction f 1 en -infinie.
b. Déterminer la limite de f1 en +infinie puis donner une interprétation graphique de ce résultat.
2. Étudier les variations de la fonction f 1 sur R puis construire son tableau de variations.
3. Déterminer le signe de la fonction f 1 sur R.
4. On note S1 la surface délimitée par C1, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=1. Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, une valeur exactes puis arrondie à 10 ^ - 3 * de l'aire en cm^ 2 du domaine S1.
5. Soit (in) la suite définie sur N* par: in = int 0 ^ 1 f n (x)dx .
a. Démontrer que, pour tout n de N* in+1 - in = int 0 ^ 1 (x+2)e^ -nx  * (e^ -x -1)dx
b. En déduire le sens de variation de la suite (in )
c. Démontrer que, pour tout n appartenant N* ,  0<=  in <= (3 /n )*(1-e^ -n ).
d. En déduire que la suite (in) converge.

Aucun problème pour les 4 premières questions, mais je bloque complètement à la 5.a, j'ai fais ceci sans aller bien loin :
in+1 - in = int0^1 ( x+2)e^-(n+1)*x dx - int0^1(x+2)e^-nx
=int0^1 xe^-(n+1)x  +  2e^-(n+1)x  -  xe^-nx  -  2e^-nx
Je ne sais pas si je suis en bonne voie car je ne sais pas si on a le droit de "combiner" deux intégration comme je l'ai fais.

Je vous remercie de l'attention portée à mon exercice !
En vous souhaitant une bonne fin de journée.

Posté par
hekla
re : Intégration 27-04-21 à 16:42

Bonjour

votre texte est un peu difficile à comprendre par manque de parenthèses

 \int_0^1(x+2)\text{e}^{-(n+1)x}\mathrm{d}x- \int_0^1(x+2)\text{e}^{-nx}\mathrm{d}x

= \int_0^1\left((x+2)\text{e}^{-(n+1)x}- (x+2)\text{e}^{-nx}\right)\mathrm{d}x

=\int_0^1(x+2)\text{e}^{-nx}\left(\text{e}^{-x}-1\right)\mathrm{d}x

Posté par
PainOchocolat
re : Intégration 27-04-21 à 16:48

Bonjour,
Je m'en excuse, j'avais peur que ce sois trop illisible avec des parenthèses.
Est-ce que vous pourriez m'aider afin de comprendre le processus pour passer de:
= \int_0^1\left((x+2)\text{e}^{-(n+1)x}- (x+2)\text{e}^{-nx}\right)\mathrm{d}x
à ça
=\int_0^1(x+2)\text{e}^{-nx}\left(\text{e}^{-x}-1\right)\mathrm{d}x
Dois-je en comprendre que mon début de raisonnement étais bon ?

Posté par
PainOchocolat
re : Intégration 27-04-21 à 16:51

Bonjour,
Je m'en excuse, j'avais peur que ce sois trop illisible avec des parenthèses.
Est-ce que vous pourriez m'aider afin de comprendre le processus pour passer de:
= \int_0^1\left((x+2)\text{e}^{-(n+1)x}- (x+2)\text{e}^{-nx}\right)\mathrm{d}x
à ça
=\int_0^1(x+2)\text{e}^{-nx}\left(\text{e}^{-x}-1\right)\mathrm{d}x
Dois-je en comprendre que mon début de raisonnement étais bon ?
Mince, comment faites vous pour passer de la deuxième à la troisième ligne ?

Posté par
hekla
re : Intégration 27-04-21 à 17:03

On laisse tomber le signe somme  cela allégera  l'écriture

\text{e}^{-(n+1)x}=\text{e}^{-nx-x}=\text{e}^{-nx}\times \text{e}^{-x}

ensuite il ne devrait pas y avoir de problème

(x+2)\text{e}^{-(n+1)x}-(x+2)\text{e}^{-nx}=(x+2)\text{e}^{-nx}\times \text{e}^{-x}-(x+2)\text{e}^{-nx}= (x+2)\text{e}^{-nx}\left(\text{e}^{-x}-1\right)

Maintenant vous pouvez remettre le signe somme


Oui,  car \int_a^bf(x)\mathrm{d}x+\int_a^b g(x)\mathrm{d}x=\int_a^b(f+g)(x)\mathrm{d}x}

C'est une des propriétés de la linéarité de l'intégrale  l'autre étant \int_a^b(\lambda f)(x)\mathrm{d}x=\lambda\int_a^b f(x)\mathrm{d}x

Posté par
PainOchocolat
re : Intégration 27-04-21 à 17:32

Je vous remercie beaucoup pour votre aide ! J'ai trop voulu développer et pas au bon endroit en plus...
Excusez de prendre un peu plus de votre temps mais j'aimerais avoir quelques confirmation pour la suite:
pour la 5b, (x+2) > 0, e^-nx >0, e^-x >0 et -1<0 donc in+1 -in<0 donc in>0, in est croissant
pour la 5c, doit on le faire avec le principe de récurrence ? ou peut on faire quelque chose comme ca:
0<n<1
1<e^-n<1+e^-n,
pour la 5d, in est croissante et est majorée par (3/n) * (1-e^-n) donc elle converge ?
Merci pour votre aide précieuse !

Posté par
hekla
re : Intégration 27-04-21 à 17:52

\text{e}^{-x}-1<0 En effet

0 \leqslant x \leqslant 1

\text{e}^0\leqslant \text{e}^x \leqslant \text{e}^1

on passe à l'inverse

1\geqslant \text{e}^{-x} \geqslant \text{e}^{-1}

et on ajoute 1

la suite est donc décroissante

Que donne la récurrence ?

Posté par
PainOchocolat
re : Intégration 27-04-21 à 18:13

quelque chose comme ca ? :
P(0) : 0 < int0^1 (x+2)e^-nx < 3/n * (1-e^-n)
: 0<0 < existe pas
donc p(0) vrai
montrons que 0<in + 1 < 3/n * (1-e^-n) est vraie
0<int0^1 (x+2)e^-(n+1)x <3/n+1 * (1-e^-(n+1) <3/n * (1-e^-n)
Je ne pense pas que se soit ca, peut on utiler dans ce cas la f(x) et bidouiller quelque chose ?

Posté par
carpediem
re : Intégration 27-04-21 à 19:49

salut

sur l'intervalle [0, 1] : 0 \le x + 2 \le 3 et i_n est évidemment positive donc 0 \le I_n \le 3\int_0^1 e^{-nx} dx

ce dernier terme se calcule aisément ...

Posté par
PainOchocolat
re : Intégration 27-04-21 à 20:16

Salut,
J'avais pensé également à faire ceci, mais je ne savais pas que l'on pouvait intégrer x et n dans la même inégalité, ni qu'il fallait calculer l'intégration.
Pensez vous que ce que j'ai écris plus haut pour les questions suivantes est juste ?
Je vous remercie de votre aide !

Posté par
hekla
re : Intégration 27-04-21 à 20:28

On a dit que ( I_n) était décroissante,    minorée par 0  elle converge

Posté par
PainOchocolat
re : Intégration 27-04-21 à 20:57

Oui bien sûr !
Je vous remercie tout les deux d'avoir porté attention à mon problème et de m'avoir aidé !

Posté par
carpediem
re : Intégration 27-04-21 à 21:31

tu peux avoir toutes les lettres que tu veux dans une intégrale l'important c'est le dx qui te dit que la variable d'intégration est x

PS : un chiffre est une lettre ... ou plus précisément un chiffre et une lettre ne sont que des dessin, des objets !! le plus important est d'en connaitre le sens ou leur rôle : les lettres n et x n'ont pas le même rôle dans l'intégrale I_n : x est la variable, n vaut autant que si tu y mettait ou 2 : c'est donc une constante ... que tu ne connais pas

Posté par
PainOchocolat
re : Intégration 27-04-21 à 21:57

Super, merci du conseil.
Je ne voyais pas les choses sous cette angle ! Je pense que vous venez de me sauver plusieurs longues minutes de réflexion dans mes prochains devoirs !

Posté par
carpediem
re : Intégration 28-04-21 à 11:45

de rien et tu m'en vois ravi pour toi ...

Posté par
DejaPris
re : Intégration 01-05-21 à 18:12

Je m'excuse de faire ressurgir ce sujet, mais ne pensez vous pas, que pour la question il faudrait prendre en compte que une unité graphique représente 4cm ?
On pourrait par exemple faire, avec le résultat de S1=-\frac{4}{e^1}+3 et faire un produit en croix comme ceci :
1 u.a => 4cm
-\frac{4}{e^1}+3  => ?=(-\frac{4}{e^1}+3)*4\approx 6.114cm^2
Je pense que cette donné n'est pas fournie pour rien, si vous pourriez me dire ce que vous en pensez.
Merci !

Posté par
DejaPris
re : Intégration 01-05-21 à 18:12

DejaPris @ 01-05-2021 à 18:12

Je m'excuse de faire ressurgir ce sujet, mais ne pensez vous pas, que pour la question 4 il faudrait prendre en compte que une unité graphique représente 4cm ?
On pourrait par exemple faire, avec le résultat de S1=-\frac{4}{e^1}+3 et faire un produit en croix comme ceci :
1 u.a => 4cm
-\frac{4}{e^1}+3  => ?=(-\frac{4}{e^1}+3)*4\approx 6.114cm^2
Je pense que cette donné n'est pas fournie pour rien, si vous pourriez me dire ce que vous en pensez.
Merci !

Posté par
carpediem
re : Intégration 01-05-21 à 18:25

la valeur d'une intégrale n'a rien à voir avec une unité graphique ...

la valeur d'une intégrale est ... la valeur de cette intégrale !!!

notons v la valeur de cette intégrale ...

maintenant si tu as un graphique et que cette intégrale représente l'aire d'un domaine alors l'aire du domaine est v u.a. (unité d'aire)

et bien sûr pour avoir l'aire réelle du domaine sur ta feuille de graphique en cm2 il faudra évidemment traduire cette u.a. en cm2 en utilisant l'échelle utilisée pour faire a figure ...



et ici si l'unité est de longueur mesure 4 cm alors  $ 1 u.a. = 16 cm^2

Posté par
DejaPris
re : Intégration 01-05-21 à 18:30

Donc finalement, faut-il faire cette modification ?
Cette fois multiplié S1*16 ce qui donnerait 24,456 cm^2

Posté par
DejaPris
re : Intégration 01-05-21 à 18:30

DejaPris @ 01-05-2021 à 18:30

Donc finalement, faut-il faire cette modification ?
Cette fois multiplié S1*16 ce qui donnerait 24,456 cm^2

Pour répondre en totalité à la question posé ?

Posté par
carpediem
re : Intégration 01-05-21 à 18:46

oui pour la question 4/ ...

Posté par
DejaPris
re : Intégration 01-05-21 à 19:04

C'est vrai que je n'ai pas réfléchi, une unité d'aire c'est 4×4 cm^2...
Merci de cette précision !

Posté par
carpediem
re : Intégration 01-05-21 à 19:20

de rien

Posté par
Flomir
re : Intégration 09-05-21 à 19:30

Bonjour à tous !

j'ai ce même exercice, mais je n'arrive pas à faire les 4 premières questions, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

Je remercie d'avance, les personnes qui prendront de leurs temps pour m'aider.

Posté par
malou Webmaster
re : Intégration 09-05-21 à 19:36

Bonsoir
comment écris-tu f1(x) déjà ? puis les deux limites sont du cours quand même, qu'as-tu écrit ?

Posté par
Flomir
re : Intégration 09-05-21 à 19:52

Bonsoir malou !

Je te remercie de m'avoir répondu.

Pour la 1.a j'ai écris cela:
\lim (x \rightarrow -oo) (x+2) = -oo
\lim (x \rightarrow -oo) (e^-nx) = -oo

Par composition
\lim (x \rightarrow -oo) (f(x)) = +oo

Posté par
malou Webmaster
re : Intégration 09-05-21 à 19:57

tu as mal lu...

Citation :
comment écris-tu f1(x) déjà ?

Posté par
Flomir
re : Intégration 09-05-21 à 20:22

Je remplace n par 1 du coup.

Posté par
Flomir
re : Intégration 09-05-21 à 20:25

Soit f1(x) = (x + 2)e^-x

Posté par
malou Webmaster
re : Intégration 09-05-21 à 20:27

ben voilà...fallait lire ton énoncé tout simplement
et maintenant je pense que les limites ne doivent pas vraiment poser problème

Posté par
Flomir
re : Intégration 09-05-21 à 20:41

Merci pour ta réponse, j'avais mal lu.

Donc si je modifie cela, je trouve :
lim(x\rightarrow -oo) = x+2 = -oo
lim(x\rightarrow -oo) = e\exp(-x) = +oo
Par composition:
lim(x\rightarrow -oo) = f1(x) = -oo
C'est bien cela ?

Posté par
Flomir
re : Intégration 09-05-21 à 20:50

Et donc pour le 1.b, la limite tend vers 0.

Posté par
malou Webmaster
re : Intégration 09-05-21 à 20:56

tes limites sont fort mal rédigées, mais le résultat est là
par contre, ce n'est pas "par composition" mais par produit
1b) exact, à rédiger proprement également

Posté par
Flomir
re : Intégration 09-05-21 à 20:58

D'accord, c'est rédigé pour le 1.a et 1.b, je te remercie.

Posté par
malou Webmaster
re : Intégration 09-05-21 à 21:00

Je t'en prie, bonne soirée, et à une autre fois sur l'

Posté par
Flomir
re : Intégration 09-05-21 à 21:07

C'est vraiment sympa, de m'avoir répondu rapidement.
Si jamais j'ai des soucis sur cet exercice, je pourrai toujours y ajouter une réponse ?

Posté par
malou Webmaster
re : Intégration 09-05-21 à 21:12

tout à fait (surtout toujours continuer un exercice où on l'a commencé)

Posté par
Flomir
re : Intégration 09-05-21 à 21:15

Super

Posté par
Flomir
re : Intégration 09-05-21 à 22:30

Donc j'ai pu réussir jusqu'au 5 compris, je n'arrive pas à faire la 6.a maintenant

Posté par
malou Webmaster
re : Intégration 10-05-21 à 09:09

rebonjour
6.a
je ne vois rien sur cette page qui s'appelle ainsi



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