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Intégration
Bonjour,
Voici l'énoncé de l'exercice :
On considère la fonction fn définie sur R par :
f n (x)=(x+2)e^ -nx est un entier naturel non nul. On note Cn sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité graphique 4 cm
1. a. Déterminer la limite de la fonction f 1 en -infinie.
b. Déterminer la limite de f1 en +infinie puis donner une interprétation graphique de ce résultat.
2. Étudier les variations de la fonction f 1 sur R puis construire son tableau de variations.
3. Déterminer le signe de la fonction f 1 sur R.
4. On note S1 la surface délimitée par C1, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=1. Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, une valeur exactes puis arrondie à 10 ^ - 3 * de l'aire en cm^ 2 du domaine S1.
5. Soit (in) la suite définie sur N* par: in = int 0 ^ 1 f n (x)dx .
a. Démontrer que, pour tout n de N* in+1 - in = int 0 ^ 1 (x+2)e^ -nx * (e^ -x -1)dx
b. En déduire le sens de variation de la suite (in )
c. Démontrer que, pour tout n appartenant N* , 0<= in <= (3 /n )*(1-e^ -n ).
d. En déduire que la suite (in) converge.
Aucun problème pour les 4 premières questions, mais je bloque complètement à la 5.a, j'ai fais ceci sans aller bien loin :
in+1 - in = int0^1 ( x+2)e^-(n+1)*x dx - int0^1(x+2)e^-nx
=int0^1 xe^-(n+1)x + 2e^-(n+1)x - xe^-nx - 2e^-nx
Je ne sais pas si je suis en bonne voie car je ne sais pas si on a le droit de "combiner" deux intégration comme je l'ai fais.
Je vous remercie de l'attention portée à mon exercice !
En vous souhaitant une bonne fin de journée.
Bonjour,
Je m'en excuse, j'avais peur que ce sois trop illisible avec des parenthèses.
Est-ce que vous pourriez m'aider afin de comprendre le processus pour passer de:
= \int_0^1\left((x+2)\text{e}^{-(n+1)x}- (x+2)\text{e}^{-nx}\right)\mathrm{d}x
à ça
=\int_0^1(x+2)\text{e}^{-nx}\left(\text{e}^{-x}-1\right)\mathrm{d}x
Dois-je en comprendre que mon début de raisonnement étais bon ?
Bonjour,
Je m'en excuse, j'avais peur que ce sois trop illisible avec des parenthèses.
Est-ce que vous pourriez m'aider afin de comprendre le processus pour passer de:
= \int_0^1\left((x+2)\text{e}^{-(n+1)x}- (x+2)\text{e}^{-nx}\right)\mathrm{d}x
à ça
=\int_0^1(x+2)\text{e}^{-nx}\left(\text{e}^{-x}-1\right)\mathrm{d}x
Dois-je en comprendre que mon début de raisonnement étais bon ?
Mince, comment faites vous pour passer de la deuxième à la troisième ligne ?
On laisse tomber le signe somme cela allégera l'écriture
ensuite il ne devrait pas y avoir de problème
Maintenant vous pouvez remettre le signe somme
Oui, car
C'est une des propriétés de la linéarité de l'intégrale l'autre étant
Je vous remercie beaucoup pour votre aide ! J'ai trop voulu développer et pas au bon endroit en plus...
Excusez de prendre un peu plus de votre temps mais j'aimerais avoir quelques confirmation pour la suite:
pour la 5b, (x+2) > 0, e^-nx >0, e^-x >0 et -1<0 donc in+1 -in<0 donc in>0, in est croissant
pour la 5c, doit on le faire avec le principe de récurrence ? ou peut on faire quelque chose comme ca:
0<n<1
1<e^-n<1+e^-n,
pour la 5d, in est croissante et est majorée par (3/n) * (1-e^-n) donc elle converge ?
Merci pour votre aide précieuse !
En effet
on passe à l'inverse
et on ajoute 1
la suite est donc décroissante
Que donne la récurrence ?
quelque chose comme ca ? :
P(0) : 0 < int0^1 (x+2)e^-nx < 3/n * (1-e^-n)
: 0<0 < existe pas
donc p(0) vrai
montrons que 0<in + 1 < 3/n * (1-e^-n) est vraie
0<int0^1 (x+2)e^-(n+1)x <3/n+1 * (1-e^-(n+1) <3/n * (1-e^-n)
Je ne pense pas que se soit ca, peut on utiler dans ce cas la f(x) et bidouiller quelque chose ?
salut
sur l'intervalle [0, 1] : et i_n est évidemment positive donc
ce dernier terme se calcule aisément ...
Salut,
J'avais pensé également à faire ceci, mais je ne savais pas que l'on pouvait intégrer x et n dans la même inégalité, ni qu'il fallait calculer l'intégration.
Pensez vous que ce que j'ai écris plus haut pour les questions suivantes est juste ?
Je vous remercie de votre aide !
Oui bien sûr !
Je vous remercie tout les deux d'avoir porté attention à mon problème et de m'avoir aidé !
tu peux avoir toutes les lettres que tu veux dans une intégrale l'important c'est le dx qui te dit que la variable d'intégration est x
PS : un chiffre est une lettre ... ou plus précisément un chiffre et une lettre ne sont que des dessin, des objets !! le plus important est d'en connaitre le sens ou leur rôle : les lettres n et x n'ont pas le même rôle dans l'intégrale I_n : x est la variable, n vaut autant que si tu y mettait 
ou 
2 : c'est donc une constante ... que tu ne connais pas
Super, merci du conseil.
Je ne voyais pas les choses sous cette angle ! Je pense que vous venez de me sauver plusieurs longues minutes de réflexion dans mes prochains devoirs !
Je m'excuse de faire ressurgir ce sujet, mais ne pensez vous pas, que pour la question il faudrait prendre en compte que une unité graphique représente 4cm ?
On pourrait par exemple faire, avec le résultat de S1= et faire un produit en croix comme ceci :
1 u.a => 4cm
=> ?=(
)*4
cm^2
Je pense que cette donné n'est pas fournie pour rien, si vous pourriez me dire ce que vous en pensez.
Merci !
Je m'excuse de faire ressurgir ce sujet, mais ne pensez vous pas, que pour la question 4 il faudrait prendre en compte que une unité graphique représente 4cm ?
On pourrait par exemple faire, avec le résultat de S1=
1 u.a => 4cm
Je pense que cette donné n'est pas fournie pour rien, si vous pourriez me dire ce que vous en pensez.
Merci !
la valeur d'une intégrale n'a rien à voir avec une unité graphique ...
la valeur d'une intégrale est ... la valeur de cette intégrale !!!
notons v la valeur de cette intégrale ...
maintenant si tu as un graphique et que cette intégrale représente l'aire d'un domaine alors l'aire du domaine est v u.a. (unité d'aire)
et bien sûr pour avoir l'aire réelle du domaine sur ta feuille de graphique en cm2 il faudra évidemment traduire cette u.a. en cm2 en utilisant l'échelle utilisée pour faire a figure ...
et ici si l'unité est de longueur mesure 4 cm alors
Donc finalement, faut-il faire cette modification ?
Cette fois multiplié S1*16 ce qui donnerait 24,456
Donc finalement, faut-il faire cette modification ?
Cette fois multiplié S1*16 ce qui donnerait 24,456
Pour répondre en totalité à la question posé ?
Bonjour à tous !
j'ai ce même exercice, mais je n'arrive pas à faire les 4 premières questions, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?
Je remercie d'avance, les personnes qui prendront de leurs temps pour m'aider.
Bonsoir
comment écris-tu f1(x) déjà ? puis les deux limites sont du cours quand même, qu'as-tu écrit ?
ben voilà...fallait lire ton énoncé tout simplement
et maintenant je pense que les limites ne doivent pas vraiment poser problème
Merci pour ta réponse, j'avais mal lu.
Donc si je modifie cela, je trouve :
Par composition:
C'est bien cela ?
tes limites sont fort mal rédigées, mais le résultat est là
par contre, ce n'est pas "par composition" mais par produit
1b) exact, à rédiger proprement également
C'est vraiment sympa, de m'avoir répondu rapidement.
Si jamais j'ai des soucis sur cet exercice, je pourrai toujours y ajouter une réponse ?
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