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Intégration : aire sous une courbe
Bonjour, j'ai beaucoup de mal à faire cet exercice pourriez vous m'aider à le résoudre svp ?
Exercice :
On considère la fonction f définie sur [ 0 ; 2π ] par f(x) = exp(-x)sin x.
1) Calculer f '(x) et vérifier que :
f ‘(x) = √2.exp(-x).cos(x+(π/4))
Moi je trouve f '(x) = (exp(x)/(exp(x))²)cos(x) mais je n'arrive pas à vérifier l'égalité donnée dans l'énoncé.
2) Résoudre sur l'intervalle sur [ 0 ; 2π ], l'inéquation :
cos(x+(π/4))
0
En déduire le signe de f ' sur l'intervalle [ 0 ; 2π ]. Préciser les tangentes à C la courbe représentative de f aux points d'intersection de C et de l'axe des abscisses et les tangentes horizontales (donner des formes exactes pour les coefficients directeurs et ordonnés à l'origine).
3) Montrer que f vérifie f(x) = -1/2(2f '+ f '').
Attention : on prendra la forme initialement trouvée pour f ', pas la forme donnée.
En déduire une primitive de f.
4) Déterminer alors l'aire du domaine D limité par la courbe C et l'axe des abscisses sur l'intervalle [ 0 ; 2π ]. Donner la valeur exacte en unité d'aire, puis une valeur approchée à 10^-2 près.
En déduire une valeur approchée en cm².
Attention : f change de signe sur l'intervalle [ 0 ; 2π ] et D est ainsi constitué de deux parties.
Merci d'avance pour votre aide.
Première remarque .
Deuxième remarque ta dérivée n'est pas correcte, tu as oublié un terme. Pour dériver un produit de fonctions il faut utiliser la règle suivante que tu connais très certainement: (uv)'=u'v+uv'
Pour transformer je te conseille d'utiliser les formules
en prenant
(2) J'imagine que tu sais résoudre sur [ 0 ; 2π ]. Si c'est le cas tu le fais puis ensuite tu remplaces y par x+π/4.
Le signe de f' ne dépend que de celui du cosinus car exp est toujours positive...
(3) Si tu dérives tu trouveras facilement la relation demandée. La primitive de f se trouve en cherchant la primitive de -1/2(2f '+ f ''). Ceci te permettra de résoudre (4).
Isis
bonjour isis!
tout d'abord merci pour votre aide je vais essayer de faire l'exercice et je vous donnerai mes réponses pour savoir si elles sont justes si cela ne vous dérange pas!
je voulais aussi vous demandé pourquoi quand je trace la dérivée que vous trouvez et celle que nous devons trouvez à partir de l'énoncé ces deux courbes ne sont pas les mêmes?
Merci d'avance pour votre réponse
Bonjour Yannickbas!
Si les deux courbes ne sont pas les mêmes c'est probablement que tu as mal entré les deux fonctions. Tu as peut être oublié des parenthèses, ou la racine. Ou peut-être aussi que les deux courbes sont très très semblables et dans ce cas la différence vient des erreurs d'arrondi du programme/calculatrice que tu utilises. J'ai tracé aussi les deux courbes et elles s'éloignent d'au plus , alors dans ces conditions je me permets de dire que les deux courbes sont confondues...
Isis
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