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Integration par partie

Posté par Kyter (invité) 21-11-04 à 13:21

Salut,
j'ai un probleme a debuter correctement sur une integration par parties portant sur le cosinus:

1) je dois montrer que (n+2)I_n+2=(n+1)I_n
où I_n= cosⁿ x (entre 0 et /2)

2) puis montrer que la suite I_n est une suite decroissante et positive

3) Prouver que :
(n+1)/(n+2)I_n+1/I_n1

Merci pour l'aide !!

Posté par Kyter (invité)re : Integration par partie 21-11-04 à 13:51

ou sinon juste pour aller plus vite : pouvé vous maidé a trouver la derivée de : cosⁿx ?

Posté par Kyter (invité)re : Integration par partie 21-11-04 à 14:23

klk1 peut il m'aider ?

Posté par Kyter (invité)re : Integration par partie 21-11-04 à 20:02

Ya quelqu'un !??

Posté par re : Integration par partie 21-11-04 à 20:39

bonsoir,

$I_{n+2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{n+2}(x)dx$

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{n}\times cos^2(x)dx$

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{n}(1-sin^2(x))dx$

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^n(x)dx-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^2(x)cos^{n}(x)dx$

$=In-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^2(x)cos^{n}(x)dx$

c'est là qu'intervient l'intégration par parties on pose $U^'(x)=sin(x)cos^n(x)$ et $V(x)=sin(x)$
on a donc $U(x)=-\frac{1}{n+1}cos^{n+1}(x)$ et $V^'(x)=cos(x)$ .

On a alors :

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^2(x)cos^{n}(x)dx$

$=[sin(x)\times (-\frac{1}{n+1}cos^{n+1}(x))]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{n+1}cos^{n+1}(x)\times cos(x)dx$

$=\frac{1}{n+1}I_{n+2}$

d'où en réinsérant dans l'égalité au-dessus :

on a $I_{n+2}=I_{n}-\frac{1}{n+1}I{n+2}$

soit $\frac{n+2}{n+1}I_{n+2}=I_n$

d'où $(n+2)I_{n+2}=(n+1)I_n$

Salut

Posté par slybar (invité)re : Integration par partie 21-11-04 à 20:53

dérivée de cosⁿ(x) c'est de la forme
XⁿnX'X^n-1

dérivée de cosⁿ(x)=n(cos(x))'*cos^n-1(x)
Il faut juste connaître la dérivée du cos(x)

Posté par Kyter (invité)re : Integration par partie 21-11-04 à 20:58

Merci bcp, j'espere que ca pourra m'aider

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