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Integration par partie

Posté par
Asuryan
26-03-05 à 23:01

Humm     alors voila mon Hic

Soit f definie sur IR*+ par f(x) = xIn x , on note Cf la courbe representative de f dans le repere Orthonormer ect ...

1)Determiner par integration par partie   x In x dx   ( au borne de bas en haut  1/2 et 1 )

2) en deduire l'aire en cm^2 l'aime limitee par Cf l'axe des abscisses et delta la droite d'equation x=1/2

Voila :p


Comme toujour merci de votre aide

Posté par
Rouliane
re : Integration par partie 26-03-05 à 23:14

Bonsoir

Pour l'intégration par partie, tu poses u'(x)=x et v(x)=ln(x), et t'appliques la formule

Posté par minotaure (invité)re : Integration par partie 26-03-05 à 23:21

salut

alors pour l'integration.
il faut trouver une primitive.

mais qu'est ce qui gene ? le x de x*ln(x)
il y aurait un 1 a la place ce serait bien non ?

mais x-> x si on derive on a x->1.

donc integration par parties

u(x)=x => u(x)=1
v'(x)=ln(x) <= v(x)= ?

c'est peut etre la que tu bloques ?

et bien une primitive de x->ln(x) c'est x->x*ln(x) -x
pour le savoir integration par parties avec
u(x)=ln(x) => u'(x)=1/x
v'(x)=1 <= v(x)=x

revenons en a la premiere :


u(x)=x => u(x)=1
v'(x)=ln(x) <= v(x)=x*ln(x)-x

donc notre integrale qu'on appelle I :
I=-1-(1/4)ln(1/2)+1/4 -integrale[1/2 a 1] {x*ln(x)-x}.dx

et ce qui donne en separant cette derniere :

I=-1-(1/4)*ln(1/2) +1/4 + 1/2 -1/8 - I

oui mais on retombe sur I, non ?

oui mais mainteanant c'est comme resoudre une equation du premier degre d'inconnue I.
2I=-1-(1/4)*ln(1/2) +1/4 +1/2 -1/8=-3/8-(1/4)*ln(1/2)=-3/8+(1/4)*ln(2)

I = -3/16+(1/8)*ln(2)

soit f definie sur [1/2,1] par f(x)=x*ln(x)
f(1)=0
la fonction est en dessous de l'axe des abscisses pour x dans [1/2,1]
(a verifier) donc je dirais que l'aire est |I| en unites d'aires.

il ne reste plus qu'a multiplier |I| par le nombre de cm² pour 1 unite d'aire (normalement c'est marque dans ton enonce)

a verifier.
a+

Posté par
Rouliane
re : Integration par partie 26-03-05 à 23:23

Minautore, ça me parait plus judicieux  d'intégrer x et de dériver ln, c'est plus simple comme expression apres

Posté par minotaure (invité)re : Integration par partie 26-03-05 à 23:25

exact.
c'est plus rapide.je me suis complique la vie pour rien.

Posté par
Rouliane
re : Integration par partie 26-03-05 à 23:33

néanmoins, les indications que tu donnes sont vraiment intéréssantes pour Asuryan

Posté par
Asuryan
re : Integration par partie 27-03-05 à 13:09

hehe ce  qui me gene c'est que mon cours est pouris lol j'apprend tout seul et pour apprendre je pose une question  je vois comment ca marche et voila

La par exemple je cherche frenetiquement si il y a une fonction In sur ma calculatrice :p

Posté par
Asuryan
re : Integration par partie 05-04-05 à 21:25

oui enfin je suis pas mal perdu dans tout ca

Posté par minotaure (invité)re : Integration par partie 05-04-05 à 22:31

salut

soit I=integrale[1/2 a 1] x*ln(x).dx
je te donne une solution moins lourde :
integration par parties
u(x)=ln(x) => u(x)=1/x
v'(x)=x <= v(x)=(1/2)*x²

I=[-ln(1/2)]*(1/2)*(1/2)² -(1/2)*integrale[1/2 a 1] x.dx

donc I=(-ln(1/2))/8 -(1/4)*[1-1/4] =ln(2)/8 - 3/16

c'est tout de meme mieux.
(desole pour la demonstration precedente)

Posté par
Asuryan
re : Integration par partie 05-04-05 à 23:38

Humm si je suis la formule ca me donne

[ln(x)*x^2/2] - int[1/x*x^2/2]

Je ne vois pas comment tu obtient

I=[-ln(1/2)]*(1/2)*(1/2)² -(1/2)*integrale[1/2 a 1] x.dx

desoler si je suis un peus boucher

Posté par
Asuryan
re : Integration par partie 06-04-05 à 14:15

Humm aussi je ne comprned pas comment tu as
v'(x)=1 <= v(x)=x

Moi je prend
u= ln(x)  donc u'=1/x
v'=x    donc v =x^2/2

Posté par minotaure (invité)re : Integration par partie 06-04-05 à 18:06

c'est ce que j'avais dans ma premiere demo.
(on peut y arriver mais c'est plus complique)
je t'ai fait une demo en "inversant" u et v, ce qui est tout de meme plus simple.

regarde mon post d'hier a 22h31.

Posté par
Asuryan
re : Integration par partie 06-04-05 à 18:57


Ok Bha pour U et V on a la meme chose la non ?

u= ln(x)  donc u'=1/x
v'=x    donc v =x^2/2

Mais, si je fais la formule pour l'integr par partie  je n'arrive pas a ca    Pourquoi il y a un - In ?   Pourquoi (1/2)*(1/2)^2 ?? Pourquoi le "^2"   Enfin je comprend pas grand chose dans cette ligne
I=[-ln(1/2)]*(1/2)*(1/2)² -(1/2)*integrale[1/2 a 1] x.dx

Peus tu me dire pas a pas comment tu l'obtient ?

Posté par minotaure (invité)re : Integration par partie 06-04-05 à 19:12

si on prend ceci :
I=integrale[1/2 a 1] x*ln(x).dx
u(x)= ln(x)  donc u'(x)=1/x
v'(x)=x    donc v(x)=x^2/2

on a I=u(1)*v(1)-u(1/2)*v(1/2) - integrale [1/2 a 1] u'(x)*v(x).dx

donc I=-ln(1/2) * (1/2)^2 /2 - integrale [1/2 a 1] x/2.dx
I=ln(2)/8 -(1/2)*integrale[1/2 a 1] x.dx

une primitive de x->x est x->x^2/2
donc
I=ln(2)/8 -(1/2)*[1/2-(1/2)^2/2]=ln(2)/8 -3/16

par contre je ne vois pas ou j'ai ecris un - In ?

Posté par
Asuryan
re : Integration par partie 06-04-05 à 20:47

oui je suis bete :p

u(1)*v(1)-u(1/2)*v(1/2)  au lieu de ca je ne fesais que u(1)*v(1)

hehe merci

Posté par
Asuryan
re : Integration par partie 06-04-05 à 20:49

celui de 23 heure 38   tu as mic ca

I=[-ln(1/2)]*(1/2)*(1/2)² -(1/2)*integrale[1/2 a 1] x.dx

-ln au debut

Posté par minotaure (invité)re : Integration par partie 07-04-05 à 10:50

et celui de 19h 12 d'hier aussi. quel est le probleme ?

-ln(1/2)=ln(2), je ne vois pas trop pourquoi ta remarque...

Posté par
Asuryan
re : Integration par partie 07-04-05 à 15:28

non on c'est juste que je ne comprenais pas comment tu avais trouver
-ln 1/2 :p

Posté par
Asuryan
re : Integration par partie 07-04-05 à 15:36

oui enfin si   maintenant he comprend mais au debut non

Posté par
Asuryan
re : Integration par partie 07-04-05 à 19:51

tu disais qu'il fallait faire comment pour ceci ?
2) en deduire l'aire en cm^2 l'aime limitee par Cf l'axe des abscisses et delta la droite d'equation x=1/2

Je fais comment ? car dans ln(2)/8 -3/16 il n'y pas pas de x


A moin qu'il faille faire

(ln(2)/8 -3/16) * x (ou x=1)  -(ln(2)/8 -3/16)*x (ou x=1/2)

Ma calculatrice fais ca mais j'aimerais savoir si c'est bon   et surtout Pourquoi :p

Posté par minotaure (invité)re : Integration par partie 07-04-05 à 20:09

non  ln(2)/8 -3/16 est le resultat de integrale(1/2,1) x*ln(x).dx

  l'aire de la partie du plan limité par par Cf l'axe des abscisses et delta la droite d'equation x=1/2
est integrale(1/2,1) -x*ln(x).dx par definition (car x*ln(x)=<0 pour x dans [1/2,1]).
donc l'aire de la partie du plan est -[ln(2)/8-3/16]=-ln(2)/8+3/16 > 0

c'est donc  3/16-ln(2)/8 . mais quelle est l'unite ?
ce sont des unites d'aire.

or normalement dans l'enonce tu dois avoir 1 unite d'aire correspond a z cm^2 ou bien 1 cm² correspond a z' unites d'aire.
si c'est z cm² correspond a 1 unite d'aire alors le resultat est
(3/16-ln(2)/8 )*z

le mieux serait de donner l'enonce complet.

Posté par
Asuryan
re : Integration par partie 07-04-05 à 21:22

ils disent juste en Cm^2    

et l'unitee sur le grafique est de 2 cm

Posté par
Asuryan
re : Integration par partie 07-04-05 à 21:32

alors je supose que z =2  

Posté par minotaure (invité)re : Integration par partie 07-04-05 à 21:41

non.
si ||vecteur(i)||=2 cm (attention aux unites)
on a 1 unite d'aire qui est egale 4 cm² car 2²=4

donc z=4.

Posté par
Asuryan
re : Integration par partie 07-04-05 à 22:04

Ho ok   Merci   hehe :p



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