As-tu essayé de poser  u = Ln(x) ?

Bonjour,

Avant d'intégrer par parties il faut décomposer en éléments simples la fonction rationnelle  x / (x²-1)²... Ensuite, l'intégration se fait quasi automatiquement...

monne chance,

<m>

merci

S x.ln(x)/(x²-1)² dx

IPP :
Poser x/(x²-1)² dx = dv ---> v = -(1/2)/(x²-1)
et poser ln(x) = u --> dx/x = du

S xLn(x)/(x²-1)² dx  = -(1/2).ln(x)/(x²-1) + (1/2) S dx/(x(x²-1))
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S dx/(x(x²-1))

décomposer 1/(x(x²-1)) en (A/x) + B/(x-1) + C/(x+1)

et on obtient : S dx/(x(x²-1)) = (1/2).ln|x²-1| - ln|x|
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S xLn(x)/(x²-1)² dx = -(1/2).ln(x)/(x²-1) + (1/2).[(1/2).ln|x²-1| - ln|x|]

S xLn(x)/(x²-1)² dx = -(1/2).ln(x)/(x²-1) + (1/4).ln|x²-1| - (1/2).ln|x|

S xLn(x)/(x²-1)² dx = -(1/2).ln(x) . x²/(x²-1) + (1/4).ln|x²-1|
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S(de 2 à 3) xLn(x)/(x²-1)² dx = -(1/2).ln(3) . 9/8 + (1/4).ln(8) - [-(1/2).ln(2) . 4/3 + (1/4).ln(3)]

= -(9/16).ln(3) + (3/4).ln(2) + (2/3).ln(2) - (1/4).ln(3)

= 17/12 . ln(2) - 13/16 . ln(3)
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Sauf distraction.  

Bonjour,
On peut reconnaitre un produit avec lnx d'une part et 2x/(x²-1)² d'autre part.
On dérive le premier facteur et on cherche une primitive de l'autre facteur.
Le numérateur 2x est la dérivée de x²-1 ; il s'agit donc de trouver une primitive de w '/w² .
-1/w convient.

Décomposer en éléments simples ne me semble pas du niveau terminale.
Il y a peut-être dans l'exercice des questions qui y préparent avant celle sur l'IPP.

Oui enfin, en France, en secondaire, on ne sait plus décomposer en éléments simples, l'IPP a disparu des programmes, ainsi que le changement de variables ... et plein d'autres choses.

Je ne sais pas où on va, mais on y va vite.

Bonsoir,


Sauf erreur ,le changement de variable u=x² nous donne







Alain

@J-P:
montrer aux élèves les incohérences du programme actuel en secondaire et essayer de les lever est - à mon avis - une mission d'un répétiteur honnête, dans la mesure où l'enseignement actuel subit une « macdonaldisation »: il est quasiment impossible de travailler dans une logique de l'absurde!

Bonjour,


"montrer aux élèves les incohérences du programme actuel en secondaire ",NON.
Les intéresser à des sujets ouverts et parfois hors programme ,OUI.



Alain