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Niveau Maths sup
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Integration par partie

Posté par
Miinaah452
23-11-14 à 13:50

Bonjour voici mon exercice
M désigne un nombre réel positif, n un entier naturel? On definit l'intégrale:
In(M)= Intégrale de x^n.e^-x allant de 0 à m

1) A l'aide d'une integration par parties, trouver une relation entre I_n+1(M) et I_n(M)
b) En deduire par récurrence, que l'intégrale impropre integrale de x^n.e^-x dx allant de 0 à +infini est convergente pour tout n E N de valeur I_n=n!

Mon travail:

1)
u(x)=x^n     u'(x)=nx^n-1
v'(x)=e^-x   v(x)=-e^-x

[-x^n.e^-x] - integrale de -(nx^n-1).e^-x dx

Je ne sais pas comment trouver une primitive de -(nx^n-1).e^-x

Ensuite là b je ne sais pas trop comment faire, merci de m'apporter votre aide.

Posté par
boninmi
re : Integration par partie 23-11-14 à 14:12

Tu n'as pas à trouver une primitive, mais à établir une relation de récurrence.
Tu es parti de In, et tu as fait apparaître In-1, si tu observes bien ton résultat.
L'énoncé demande de partir de In+1, c'est alors In que tu verras apparaître.

Posté par
Miinaah452
re : Integration par partie 23-11-14 à 14:28

Ok donc j'aboutis à
[-x^(n+1).e^-x] - integrale de -((n+1)x^n).e^-x dx

Voilà donc je peux m'arreter là ?

Posté par
boninmi
re : Integration par partie 23-11-14 à 18:54

Ben non, tu ne t'arrêtes pas, tu continues ...
Calcule la valeur Vn+1 entre crochets, écris que
In+1 = Vn+1-(n+1)In
et passe à la question suivante ...

Posté par
Miinaah452
re : Integration par partie 23-11-14 à 21:37

merci



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