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Intégration par parties

Posté par Nath--- (invité) 27-08-05 à 17:07

Bonjour!
Je rencontre un petit problème dans mon exercice, à cause d'une inconnue m. Je ne sais comment je dois procéder.

Voici le sujet:
On considère la fonction numérique de la variable réelle x définie par: f(x)= sin^2 x (1 + cos^2 x).

1. Linéariser f(x)
2. A l'aide de deux intégrations par partie calculer: I(m)= l'intégralle de 0 à pi/2 e^-x cos m x dx où m appartient à Df= R*.
3. En déduire J= l'intégralle de 0 à pi/2 (e^-x).f(x) dx

On en donnera la valeur exacte et la valeur approchée à 10^-3 près par défaut.

Merci de m'aider

Posté par
cinnamonre : Intégration par parties 27-08-05 à 17:11

Salut,
qu'est-ce que tu n"arrives pas à faire exactement ?

A propos de m, considère que ce n'est pas une inconnue mais une constante.


à+





Posté par minotaure (invité)re : Intégration par parties 27-08-05 à 17:15

salut

on a f(x)= (sin²(x)) * (1+cos²(x))

sin²(x)=1-cos²(x) => f(x)=1-cos^4(x)

reste a lineariser cos^4(x).

deux methodes formules de trigo ou complexes

dans les 2 cas :

cos^4(x)= (1/8)*[cos(4x)+4*cos(2x)+3]

d'ou f(x) = 1-(1/8)*[cos(4x)+4*cos(2x)+3]

Posté par Nath--- (invité)Intégration par partie 27-08-05 à 17:18

Pour Cinamon. Je ne sais pas encore me servir de ce site. Je ne sais pas répondre en direct mais je dirais que je ne sais pas comment calculer mon intégral avec m. Pour vous, ça a l'air facile? Comment puis-je faire pour calculer en faisant comme si "m" était un nombre donné.
Je dois dire que les intégrations par parties ne sont pas simple à mon niveau.
Merci d'avance.  

*** message déplacé ***

Posté par
cinnamonre : Intégration par partie 27-08-05 à 17:20

Nath---, il faut que tu répondes sur le précédent topic.

*** message déplacé ***

Posté par minotaure (invité)re : Intégration par parties 27-08-05 à 17:21

2)

I(m)= l'intégralle de 0 à pi/2 e^-x cos m x dx

premiere ipp :

u(x)=cos(mx) => u'(x)=-m*sin(m*x)
v'(x)=e^(-x) <= v(x)=-e^(-x)

=> I(m)=1-m*integrale(0 a Pi/2) e^(-x) sin(m*x)*e^(-x).dx

deuxieme ipp :

u(x)=sin(mx) => u'(x)=m*cos(mx)
v'(x)=e^(-x) <= v(x)=-e^(-x)

donc I(m)=1-m*[-(-1)^m * e^(-Pi/2) + m*I(m)]

donc I(m)=1+m*(-1)^m*e^(-Pi/2)-m²*I(m)

donc I(m)=[1+m*(-1)^m*e^(-Pi/2)]/[1+m²]

attention a mes erreurs de calculs !!!

Posté par minotaure (invité)re : Intégration par parties 27-08-05 à 17:36

pour le 3)

J=integrale (0 a pI/2) e^(-x).dx -(1/8)*I(4)-(1/2)*I(2)-3/8*integrale(0 a Pi/2) e^(-x).dx

a partir du resultat du 2) on obtient le resultat en calculant une petite integrale ( integrale(0 a Pi/2) e^(-x).dx )

Posté par biondo (invité)re : Intégration par parties 27-08-05 à 17:37

SAlut,

minotaure a raison sur le fond...
Pourtant, si m est effectivement un reel, et pas un entier (et meme comme ca, la premiere IPP... mmmmmmouais - ca se discute suivant la valeur de m, cette affaire).
On va se trainer un peu de cos(mPi/2) et de sin(mPi/2), voila tout.

(enfin bon, moi au debut j'ai fait pareil que toi , minotaure, alors je garde un profil bas... )

A+
biondo

Posté par minotaure (invité)re : Intégration par parties 27-08-05 à 17:41

pourquoi la premiere ipp te pose probleme ?

le seul petit souci aurait ete que m=0 (et eoncore ici ca passe) mais dans l'enonce on precise m different de 0.

Posté par biondo (invité)re : Intégration par parties 27-08-05 à 17:47

ben...

[-exp(-x)cos(mx)] entre 0 et pi/2
ca ne fait pas 1..., mais: 1 - cos(mPi/2)exp(-Pi/2)

C'est pour ca que je dis que ca se discute suivant les valeurs de m: pour les entiers de la forme 2k+1, je ne dis pas... pour les autres (reels entre autres)...

C'est tout

A+
biondo

Posté par minotaure (invité)re : Intégration par parties 27-08-05 à 17:55

arghh oui effectivement un peu vite.



I(m)= 1 - cos(mPi/2)exp(-Pi/2)-m*integrale(0 a Pi/2) e^(-x) sin(m*x)*e^(-x).dx

et I(m)=1 - cos(mPi/2)exp(-Pi/2)-m*[-sin(mPi/2)*e^(-Pi/2)+ m*I(m)]





Posté par
cinnamonre : Intégration par parties 27-08-05 à 17:55

Je ne trouve pas du tout la même chose que toi minotaure...

Voici mes IPP:

I(m)= \Bigint_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} \times cos (mx)dx

Première ipp :

u(x)=cos(mx) \Rightarrow u'(x)=-m\times sin(mx)
v'(x)=e^{-x} \Rightarrow v(x)=-e^{-x}

Jusque là pas de souci...
C'est après que ça diffère.

I(m)= [-e^{-x}\times cos(mx)]^{\frac{\pi}{2}}_0 - \Bigint_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} \times m\times sin (mx)dx

Soit J(m) = \Bigint_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} \times m\times sin (mx)dx.
Deuxième ipp :

u(x)=m\times sin(mx) \Rightarrow u'(x)=m^2\times cos(mx)
v'(x)=e^{-x} \Rightarrow v(x)=-e^{-x}

Donc J(m) = [-e^{-x}\times m \times sin(mx)]^{\frac{\pi}{2}}_0 + m^2\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} \times cos (mx)dx
                 = [-e^{-x}\times cos(mx)]^{\frac{\pi}{2}}_0 + m^2\times I(m).


Or I(m)= [-e^{-x}\times cos(mx)]^{\frac{\pi}{2}}_0 - J(m)

D'où I(m) = -m^2 \times I(m).

Donc I(m)= 0 puisque m \neq 0.


à+




Posté par biondo (invité)re : Intégration par parties 27-08-05 à 17:58

>cinnamon

j'ai l'etrange impression qu'un copier-coller t'as joue des tours sur le calcul de J.
Un sin qui devient un cos...

biondo

Posté par
cinnamonre : Intégration par parties 27-08-05 à 18:00

ah oui exact désolée biondo...

Posté par
cinnamonre : Intégration par parties 27-08-05 à 18:19

Bon, après rectification, j'obtiens :

J(m)= [-e^{-x}\times m \times sin(mx)]^{\frac{\pi}{2}}_0 + m^2\times I(m).

D'où I(m) = [-e^{-x} \times cos(mx)]^{\frac{\pi}{2}}_0-[-e^{-x}\times m \times sin(mx)]^{\frac{\pi}{2}}_0 - m^2\times I(m)

I(m) = -e^{-\frac{\pi}{2}}\times cos(\frac{m\pi}{2})+1 +e^{-\frac{\pi}{2}}\times m\times sin(\frac{m\pi}{2})-m^2\times I(m)

Donc  5$ \fbox{I(m) = \frac{e^{-\frac{\pi}{2}}[m\times sin(\frac{m\pi}{2})-cos(\frac{m\pi}{2})]+1}{1+m^2} }.

J'espère ne pas m'être encore trompée.



Posté par minotaure (invité)re : Intégration par parties 27-08-05 à 19:56

c'est bon tu ne t'es pas trompee.

Posté par Nath--- (invité)MERCI 28-08-05 à 02:32

Merci à toutes les personnes qui m'ont aidées à résoudre cet exercice.

Posté par
cinnamonre : Intégration par parties 28-08-05 à 15:57

Je t'en prie .

N'hésite pas à reposter si tu as d'autres problèmes sur cet exo.




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