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Intégration par parties

Posté par
Dohko 16-05-19 à 16:31

Bonjour,

mon problème est le suivant soit f une fonction définie sur l'ensemble des réels par:

f(x)=(2\exp (2x))(1-2x)

et dont on note C la représentation graphique dans un repère orthogonal (O,,)

après une étude sommaire de la fonction, et à l'aide d'une intégration par parties, déterminer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par C, l'axe des abscisse x=-2 et x=0.

j'ai répondu que f(x) est définit sur ]-;+[
qu'elle est dérivable et continue sur l'intervalle ]-2;0[ et qu'elle s'annule pour x=1/2

pour l'intégration par parties j'ai définit:
u(x)=2\exp (2x) et v'(x)=1-2x
donc u'(x)=4\exp (2x) et v(x)=x-x²

IPP:
\int_{-2}^{0}{f(x)dx}=\left[u(x)v(x) \right]_{-2}^{0} - \int_{-2}^{0}{u(x)v'(x)dx}
= \left[(2\exp(2x))(x-x²) \right]_{-2}^{0}-\int_{-2}^{0}{(2\exp(2x))(1-2x)}

mon soucis est de trouver la primitive de (2\exp(2x))(1-2x)

si je reproduit l'intégration par parties je me retrouve avec le même soucis sans fin.

merci.





Posté par
Glapion Moderateurre : Intégration par parties 16-05-19 à 16:35

il faut toujours prendre pour u et v des fonctions telles que u' soit plus simple que u.
(autrement dit il faut abaisser le degré de 1-2x et pas l'augmenter)

Dans ton cas tu n'as pas fais les bons choix, il fallait prendre u = 1-2x et v' = 2e2x (et donc v(x) = e2x )

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 16-05-19 à 16:49

j'ai essayer et je bloque toujours sur la primitive a trouver pour
(1-2x)(2e2x)

Posté par
Yzzre : Intégration par parties 16-05-19 à 16:57

Salut,

Tu n'as pas ce problème là avec ce qu'a dit Glapion : prendre u = 1-2x et v' = 2e2x (et donc v(x) = e2x )

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 16-05-19 à 17:56

donc
u = 1-2x et u' = -2
v' = 2e2x et v = e2x

on a:

\int_{-2}^{0}{f(x)}=\left[(1-2x)\exp(2x) \right]_{-2}^{0} - \int_{-2}^{0}{-2(\exp2x)}

= \left[(1-2x)\exp(2x) \right]_{-2}^{0}+2\left[\exp(2x)\right]_{-2}^{0}

= \left[ \left[(1-0)\exp(2*0) \right]-\left[(1-2*(-2))\exp(2*-2) \right]\right] + 2\left[\left[\exp(2*0) \right]-\left[\exp(2*-2 \right]\right]

= 1-5\exp(-4)+2-2\exp(-4) = 3-7\exp(-4)

j'y suis ? cela représente donc 2.871 Unités d'aires ?

Posté par
Barneyre : Intégration par parties 16-05-19 à 18:09

Bonjour,

des efforts d'écriture, mais il manque les dx
et tu te fais des nœuds entre dérivée et primitive
donc, recommence...

Posté par
carpediemre : Intégration par parties 16-05-19 à 18:19

salut

en terminale on peut peut-être évaluer mentalement 1 - 2x lorsque x = 0 ou x = -2 directement ...

une IPP consiste à écrire un produit de deux fonctions f * g sous la forme (générique) u * v'

en terminale il serait bien de savoir que f * g = g * f (ou encore que u * v' = v' * u) pour se dire qu'il y a deux façons d'associer f et g à u et v' ...

et que si on a fait un choix qui ne convient pas ben on essaie l'autre ...


une dernière remarque :  f(x) = P(x)e^{kx} => f'(x) = Q(x)e^{kx}

1/ calculer qui est précisément Q
2/ comparer les degrés de P et Q
3/ proposer une méthode de résolution qui permette de se passer d'une IPP (ou de retrouver le résultat)

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 24-05-19 à 13:13

Bonjour, suite a un déplacement j'ai du mettre le problème en pause.

Barney quand tu me dis que je me fais des nœuds c'est a dire ? j'ai inverser primitive et dérivée ?

Carpediem, je suppose que t'on résonnement et certes le plus simple malgré que je n'ai pas tout suivi, cependant il me parait judicieux de faire une IPP quand l'énoncé demande de résoudre a l'aide d'une IPP, non ?

Je suis en reconversion professionnel pour un BTS et je n'ai pas fait de maths depuis maintenant 9 ans, alors excuse moi de ne pas avoir tous les automatismes que je devais avoir en terminale, mais je fais de mon mieux, et si je les avais je ne serais pas sur ce forum a essayer de comprendre, merci.

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 24-05-19 à 14:17

je viens de voir que pour la deuxième partie de l'expression j'avais pas mis la primitive dans les crochet.

on a donc 1 - 5e^(-4) + 2 [(e^(2x))/2]

= 1 - 5e^(-4) + 2 [(1/2)-(e^(-4)/2)]

= 1 - 5e^(-4) + 1 - e^(-4)

= 2 - 6e^(-4)

= 1.89 u.a

Posté par
larrechre : Intégration par parties 24-05-19 à 15:27

Bonjour,

Faire attention : la première ligne est incorrecte. Il faut

I=1 - 5e^{-4} + 2 {\red\int_{-2}^0}[(e^{2x})/2] {\red{dx}}

Il vaut mieux (sauf si c'est explicitement demandé)  laisser le résultat final, sous sa forme dite "exacte", soit
  
I=2 - 6e^{-4}

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 24-05-19 à 16:45

D'accord, merci pour les précisions apportées

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 24-05-19 à 18:48

par contre pour une intégration par partie pour

J= \large \int_{2}^{3}{\frac{x\ln (x)}{(x²-1)²}}dx

Pouvez vous m'aider ? je dois trouver le moyen d'avoir  \large \frac{U'\left(x) \right}{U(x)²}  ce qui me donnerais la primitive  \large \frac{-1}{U(x)}+C , non ?


Donc U(x) = (x²-1)  et U'(x) = 2x

Mais je ne vois pas quel lien je doit faire pour avoir U'(x) = x ln(x) = 2x ?
à moins que je soit complètement à coté de la plaque ?

Posté par
carpediemre : Intégration par parties 24-05-19 à 19:21

x = \dfrac 1 2 2x donc tu as bien ton u'/u^2 ... enfin à toi de vérifier ...

de toute façon il faut te "débarrasser" de ln x ... qui est donc ton v ...

Posté par
Pirhore : Intégration par parties 24-05-19 à 21:13

Bonjour,

\large u=ln(x)

\large v'=\dfrac{x}{(x^2-1)^2}

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 28-05-19 à 20:40

Donc u = ln (x) ; u'(x) = 1/x
et v'(x) = x/(x²-1)²  et v(x) = -1/2(x²-1)

ainsi on a:

I = \large \int_{2}^{3}{\ln x \frac{x}{(x²-1)²}} dx= \left[(\ln x)( \frac{-1}{2(x²-1)})\right]_{2}^{3} - \int_{2}^{3}{\frac{1}{x}}(\frac{-1}{2(x²-1)}) dx

I =\left[\left[(\ln 3)( \frac{-1}{2(3²-1)})\right] - \left[(\ln 2)( \frac{-1}{2(2²-1)})\right] \right] - \frac{1}{2} \int_{2}^{3}{\frac{1}{x}}(x²-1)} dx

On recommence une intégration avec u(x) = (x²-1) ; u'(x) = 2x
et v'(x) = 1/x ; v(x) = ln(x)

donc on a:

I =\left[\left[(\ln 3)( \frac{-1}{16})\right] - \left[(\ln 2)( \frac{-1}{6})\right] \right] - \frac{1}{2} \left[ \left[(x²-1)(\ln x) \right]_{2}^{3} - \int_{2}^{3}({2x \ln x }) dx\right]

on recommence une intégration avec u(x) = ln(x) ; u'(x) = 1/x
et v'(x) = 2x ; v(x) = x²

I  =\left[ \frac{-1}{16}\ln 3 + \frac{1}{6}\ln 2\right] - \frac{1}{2} \left[ 8 \ln 3 - 3\ln 2 - \left[(\ln x)(x²) \right]_{2}^{3}-\int_{2}^{3}{\frac{1}{x} x² } dx\right]

I =\left[ \frac{-1}{16}\ln 3 + \frac{1}{6}\ln 2\right] - \frac{1}{2} \left[ 8 \ln 3 - 3\ln 2 - 9\ln 3 + 4\ln 2 - \left[\frac{x²}{2} \right]_{2}^{3}\right]


La primitive de x²/x est bien x²/2 ?

Posté par
Kernelpanicre : Intégration par parties 28-05-19 à 21:01

Bonsoir,

tu ne sais pas intégrer \dfrac{1}{x}(x^2-1) sans passer par une intégration par partie ? ...

Posté par
Pirhore : Intégration par parties 28-05-19 à 21:16

pas besoin d'une nouvelle IPP

soit I_1=\left  \int_{2}^{3}{\dfrac{1}{2}}\dfrac{1}{x(x²-1)}) dx\right

ensuite tu décomposes  en fractions simples

  \dfrac{1}{2x(x²-1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{x-1}

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 29-05-19 à 02:00

Désolé je suppose que c'est la base mais je bloque sur la décomposition.
Je développe et je trouve

\large \frac{(a+b+c)x^{2}-(b+c)x-a}{x(x^{2}-1)} = \frac{1}{2x(x^{2}-1)}

Je mets tout au même dénominateur en multipliant l'expression de droite par 2 mais je bloque sur le système qui suis.

Posté par
Pirhore : Intégration par parties 29-05-19 à 07:36

je ne comprends pas ton calcul


en partant de   \dfrac{1}{x(x²-1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{x-1}

1=A(x^2-1)+Bx(x-1)+Cx(x+1)

x=0 ...

x=1 ...

x=-1...

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 29-05-19 à 14:21

je ne comprend pas ce que je dois faire avec :

1 = A(x²-1) + Bx(x-1) + Cx(x+1)

je pensais qu'on développait et qu'un résolvait un système pour trouver a, b et c.

Posté par
carpediemre : Intégration par parties 29-05-19 à 14:26

tout à fait ...

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 29-05-19 à 14:39

donc on a :

ax² - a + bx² - bx + cx² + cx = 1

donc (a+b+c)x² - (b+c)x + a = 1

S = a + b + c = 0
        - b + c = 0
        a = 1

non ?

Posté par
Priamre : Intégration par parties 29-05-19 à 15:26

A la deuxième ligne, tu écris de nouveau le numérateur de 2h00. Mais il est erroné. Vérifie.

Posté par
Pirhore : Intégration par parties 29-05-19 à 15:36

Citation :
je pensais qu'on développait et qu'un résolvait un système pour trouver a, b et c.


certes mais dans ton cas , tu te compliques la vie

1=A(x^2-1)+Bx(x-1)+Cx(x+1)

comme la relation est vraie quelque soit x, tu peux choisir astucieusement des valeurs qui  facilitent le calcul

x=0  ==> 1=-A

x=1 ==> 1=2C

x=-1 ==> 1=2B

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 29-05-19 à 16:21

Je suis complètement perdu.
Je ne vois pas où est l'erreur de 2h00 et pour le choix des valeurs je suppose que x=0 et le choix le plus simple mais on est partit sur 1/x(x2-1)
Et non sur 1/2x(x2-1)

J'ai l'impression de tout mélanger  

Posté par
Priamre : Intégration par parties 29-05-19 à 16:51

Vérifie ta mise au même dénominateur de 2h00 ; il y a au moins une faute de signe.

Posté par
Pirhore : Intégration par parties 31-05-19 à 12:12

Citation :
pour le choix des valeurs je suppose que x=0 est le choix le plus simple mais on est partit sur 1/x(x2-1)
Et non sur 1/2x(x2-1)


il suffit de suivre le post du 29-05-19 à 15:36

ensuite tu multiplies tous les coefficients par \dfrac{1}{2}

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 04-06-19 à 18:55

\large \frac{(a+b+c)x²-(b+c)x-a}{x(x²-1)} = \frac{-1}{2x(x²-1)}

c'est ça mon erreur ?

Posté par
Priamre : Intégration par parties 04-06-19 à 19:44

Mais tu écris la même  chose !
Vérifie le coefficient de  x  au numérateur.

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 04-06-19 à 20:16

non désolé je vois pas ce que vous voulez me dire.

Posté par
Priamre : Intégration par parties 04-06-19 à 22:38

Le coefficient de  x  est  - (b - c)  et non  - (b + c).

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 04-06-19 à 23:35

désolé je l'avais pas vu celle-là !

Donc notre système est

S= a + b + c = 0
       -(b-c) = 0
       - a = -1

Donc a = 1

S= 1 + b + c = 0 b = -1 - c
     -((-1-c)-c) = 0

Donc 2c = -1 c = -1/2

Et b = -1+1/2 = -1/2

?

Posté par
Priamre : Intégration par parties 05-06-19 à 09:54

Ce n'est pas  - a = - 1 , mais  - a = 1 .

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 05-06-19 à 09:59

Pourquoi -1 ?
La primitive a trouvé et bien celle de
-1/2x(x2-1) (post du 28/05 à 20h40)

Posté par
Priamre : Intégration par parties 05-06-19 à 10:23

Le numérateur s'écrit donc  (a + b + c)x² - (b - c)x - a ; il doit être égal à 1 .
Il faut donc, en particulier, que  - a  soit égal à 1 .

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 05-06-19 à 10:32

Ça me donne
a = -1
b = 1/2
c = 1/2

C'est ces coefficients que je doit multiplier par -1/2 pour retrouver mon intégrale de base -1/2x(x2-1) ?

Posté par
Priamre : Intégration par parties 05-06-19 à 10:42

Oui, d'accord.

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 05-06-19 à 10:51

J'ai donc
a = -3/2
b = -1/4
c = -1/4

Posté par
Priamre : Intégration par parties 05-06-19 à 10:57

a = - 3/2 ??

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 05-06-19 à 11:47

a = 1/2

pardon je m'emmêle avec d'autres exercices

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 05-06-19 à 15:36

pour finir l'exercice, on utilise la relation de chales, donc on a:

I = \large \left[\frac{-\ln 3}{16} +\frac{\ln 2}{6}\right]-\int_{2}^{3}{\frac{1}{2x}}dx +\int_{2}^{3}{\frac{-1}{4(x+1)}}dx+\int_{2}^{3}{\frac{-1}{4(x-1)}}dx

I = \large \left[\frac{-\ln 3}{16} +\frac{\ln 2}{6}\right]-\left[\frac{\ln 3}{2}-\frac{\ln 2}{2} \right]+\left[\frac{-\ln4 }{4}+\frac{\ln 3}{4} \right]+\left[\frac{-\ln 2}{4}+\frac{\ln 1}{4} \right]

I = \large \frac{-5\ln 3}{16}+\frac{5\ln 2}{12}-\frac{\ln 4}{4}+0

I = \large \frac{-5\ln 3}{16}+\frac{5\ln 2}{12}-\frac{\ln 2}{2}

I = \large \frac{-5\ln 3}{16}-\frac{\ln 2}{12}

I = \large \frac{-15\ln 3 -4\ln 2}{48}

est-ce normal de trouver un résultat comme celui-ci ?

Posté par
alb12re : Intégration par parties 05-06-19 à 16:56

salut, c'est l'integrale d'une fonction positive sur [2,3] donc ....

Posté par
Dohkore : Intégration par parties 05-06-19 à 17:15

non
je devrais avoir un résultat positif ?

Posté par
alb12re : Intégration par parties 05-06-19 à 17:41

oui

Posté par
alb12re : Intégration par parties 05-06-19 à 18:26

des erreurs de signe à la premiere ligne
le deuxieme integrand (-v*u') serait -1/(x*2)+1/((x-1)*4)+1/((x+1)*4) si je fais confiance à Xcas

Posté par
Pirhore : Intégration par parties 05-06-19 à 18:47

je crois qu'il y a une erreur de signe ici

Citation :
J'ai donc
a = -1/2
b = -1/4
c = -1/4


b=\dfrac{1}{4}, c=\dfrac{1}{4}     car l'intégrale que tu cherches(cf. ton post du 28-05-19 à 20h40)  est

I =\left .....\textcolor{red}{-} \dfrac{1}{2}\int_{2}^{3}{\dfrac{1}{x}}\dfrac{\textcolor{red}{-1}}{(x²-1)} dx\right    les 2 moins en rouge te donnent un signe + d'où

I = ..... \dfrac{1}{2}\int_{2}^{3}{\dfrac{1}{x(x²-1)} dx

Posté par
Pirhore : Intégration par parties 05-06-19 à 18:49

salut alb12,

sorry j'avais pas vu ton post mais je confirme


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