Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale IntégrationTopics traitant de Intégration [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

intégration par parties?

Posté par
Erw15 02-12-22 à 15:47

Bonjour,
on dit qu'on fait une intégration par partie quand on ne sait pas donner directement une primitive de la fonction intégrée,

mais on fait ensuite :

S(intégrale) u(x)v' (x) = [u(x)v(x)] - S(intégrale)....

Donc on a bien les primitives de u(x) et v(x) entre les crochets...

Posté par
carpediemre : intégration par parties? 02-12-22 à 16:24

salut

pas du tout !!

quelle est la dérivée du produit uv ?

Posté par
Erw15re : intégration par parties? 02-12-22 à 23:12

Je comprend pas, déjà comment on lit le résultat, à gauche on a une intégrale avec u v', et à droite on a le calcul de l'intégration de uv et de l'intégrale u'v.

Donc le résultat du calcul donne quoi? La primitive? Elle sera égale à l'intégrale de u v' ?

Le 2e truc que je comprend pas, c'est qu'on fait : les primitives du calcul de la dérivé nous donne la primitive de la fonction uv ?

La définition de la dérivée c'est F' = f(x), donc c'est la dérivée de la primitive, pas la primitive de la dérivée.

Et un 3e truc, dans un exercice ils disaient "comme uv est une primitive de (uv)' " , j'ai pas compris. uv est la fonction, et (uv)' est la dérivée pour moi.

Posté par
Leilere : intégration par parties? 03-12-22 à 00:17

bonjour,

en 1ère  tu as vu que
(u *v)'   =   u'v  +  uv'

donc    u v'    =   (uv)'   -   u'v          

l'égalité est conservée si on applique l'intégrale aux deux membres, puis tu as vu en cours la linéarité de l'intégrale

on écrit donc    \int (uv') = \int (uv)' - \int (u'v)

jusque là, ça va ?

pour le 2ème truc :
quand tu écris   que la dérivée de   x²     est    2x ,
tu peux aussi dire que    x²   est une primitive de 2x.

Quand tu dérives, on  "descend"  (l'exposant est de plus en plus petit)
regarde, je dérive   3 fois :
x^3   --dérivée----->   3x²   --dérivée---->   6x    ---dérivée----->   6
pour trouver une primitive, on "remonte"
6  --primitive -->  6x    --------->   3x²   --------->  x^3

  je peux écrire    (3x²)'  =  6x

et    \int (3x²)' = \int (6x)       \\ \\ et \int (6x) = 3x²

donc    \int (3x²)' = 3x²

OK ?









Posté par
Erw15re : intégration par parties? 03-12-22 à 01:11

Merci

pour le 1, si on cherche l'aire 5, et qu'on a 5 = 3 + 2, et qu'on fait
2 = 5 - 3
2 = 2

ca ne nous donnera pas le 5. L'égalité est conservée, mais on veut l'intégrale de uv, on ne veut pas l'intégrale de uv' .


Pour le 2, on doit utiliser les primitives d'une fonction pour trouver l'aire,
donc en temps normal on "remonte" depuis la fonction vers la primitive et on intègre,

mais là on fait la primitive de la dérivée :

donc on descend de la fonction vers la dérivée,
puis on remonte avec la primitive de la dérivée, donc on retombe sur la fonction, et on intègre,

donc on n'est pas allé chercher la primitive de la fonction de départ, on utilise la fonction de départ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : intégration par parties? 03-12-22 à 08:01

Bonjour,
Ton dernier message n'est pas très clair.
Tu devrais choisir un exemple de ton cours ou trouvé ailleurs pour essayer d'expliquer ce que tu ne comprends pas sur quelque chose de précis

Posté par
carpediemre : intégration par parties? 03-12-22 à 09:03

dommage d'avoir donné les réponses ...

et dommage de ne pas avoir répondu à ma question ...

Erw15 @ 02-12-2022 à 23:12

Et un 3e truc, dans un exercice ils disaient "comme uv est une primitive de (uv)' " , j'ai pas compris. uv est la fonction, et (uv)' est la dérivée pour moi.


si f = uv alors f' = (uv)'

f' est la dérivée de f
(uv)' est la dérivée de uv
donc
f est une primitive de sa dérivée f'
uv est une primitive de sa dérivée (uv)'

mais ensuite on connait la formule : (uv)' = u'v + uv'

pour la suite voir le début de la réponse de Leile ...

Posté par
Erw15re : intégration par parties? 03-12-22 à 11:36

carpediem je sais déjà que la dérivée de (uv)' = u'v + uv'

pour trouver l'aire, normalement, on part d'une fonction, on prend sa primitive, et on fait F(B) - F(A),

ici, on n'utilise pas la primitive de la fonction, mais la primitive de la dérivée, (donc on retombe sur la fonction?) et on modifie la position autour du signe égal, ce qui nous donne : \int_{}^{}{uv'} = [uv] - \int_{}^{}{u'v}

ce qui est à droite est censé être l'aire? donc la même chose que F(B) - F(A) ? Je ne comprend pas comment ça peut être la même chose.

Si on remet le [uv] à gauche et les intégrales des dérivées à droite, on fait la soustraction des primitives des dérivées, la dérivée = on descend d'un niveau, la primitive = on remonte d'un niveau, donc on aura fait l'équivalent de l'intégrale de la fonction, et non pas l'intégrale des primitives de la fonction.

Posté par
Erw15re : intégration par parties? 03-12-22 à 11:37

*l'addition des primitives des dérivées

Posté par
carpediemre : intégration par parties? 03-12-22 à 11:49

ben oui !!

quand on écrit [uv] c'est que ce qui est entre les crochet est une primitive (de quelque chose)

et c'est évidemment une primitive de sa dérivée ...

il y a une différence entre (uv)', u'v et uv' :

une primitive de (uv)' est uv

mais je ne connais pas à priori de primitive de u'v ou de uv'

il n'y a pas de formule de primitive d'un produit comme pour la somme où une primitive de la somme est la somme des primitives

mais si je sais calculer l'une des deux intégrales \int u'v $ ou $ \int uv' alors grace à la formule d'IPP je sais calculer l'autre

et ce qui me le permet c'est que le calcul effectif de l'un des produits u'v ou uv' est quelque chose de sympathique dont je sais déterminer une primitive

Posté par
Erw15re : intégration par parties? 03-12-22 à 14:07

jE comPreN Po

normalement : une fonction f, une primitive F, crochets veut dire "intégrale", [F] = intégrale, F(B) - F(A)
on n'a pas fait l'intégrale de la fonction [f], mais l'intégrale des primitives [F]


si on utilise l'IPP : [uv] = intégrale de la fonction, [uv] = \int u'v + \int uv'
si on va au bout sans changer de position, on aura trouvé l'intégrale de la fonction uv, pas l'intégrale de la primitive de uv

Est-ce que déjà là on est d'accord?

Donc, mettre à gauche le produit de la primitive de u multiplié par la primitive de la dérivée v' (donc ca revient à mettre le v de départ), ça nous donne quoi ? La moitié de l'intégrale de uv...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : intégration par parties? 03-12-22 à 14:14

Je tente avec un exemple :
Trouver une primitive F sur de la fonction f définie par
f(x) = xcos(x).
Si on dérive g définie par g(x) = xsin(x), on trouve
g'(x) = sin(x) + xcos(x) = sin(x) + f(x).
D'où f(x) = g'(x) - sin(x)
et F définie par F(x) = g(x) + cos(x) est une primitive sur de la fonction f.

Dans l'exemple, on a remplacé la recherche d'une primitive pour xcos(x) par la recherche d'une primitive plus facile :
Une primitive pour sin(x).

C'est ce qu'on cherche à faire quand on intègre par partie :
(uv)' = u'v + uv' ; donc uv' = (uv)' - u'v.
Si on sait trouver une primitive H de u'v, alors uv - H est une primitive de uv'.

Posté par
carpediemre : intégration par parties? 03-12-22 à 14:55

mais je crois bien que le pb n'est pas là  ...

Erw15 @ 03-12-2022 à 14:07

normalement : une fonction f, une primitive F, crochets veut dire "intégrale", [F] = intégrale, F(B) - F(A) ce ci ne veut rien dire et est faux

on n'a pas fait l'intégrale de la fonction [f], mais l'intégrale des primitives [F] ceci est faux


si on utilise l'IPP : [uv] = intégrale de la fonction, [uv] = \int u'v + \int uv'
si on va au bout sans changer de position, on aura trouvé l'intégrale de la fonction uv, pas l'intégrale de la primitive de uv   faux et ne veut rien dire

Est-ce que déjà là on est d'accord?

Donc, mettre à gauche le produit de la primitive de u multiplié par la primitive de la dérivée v' (donc ca revient à mettre le v de départ), ça nous donne quoi ? La moitié de l'intégrale de uv... non


à mon avis tu ne connais pas ton cours

pour calculer l'intégrale I = \int_a^b f(x)dx il faut connaitre une primitive de f

notons alors F une primitive de f

alors pour calculer I il suffit de calculer F(b) - F(a) (se démontre proprement)

soit maintenant f = uv, U et V des primitives de u et v ; alors :

1/ UV n'est pas une primitive de uv
2/ la primitive F de f = uv est une primitive de f = uv
3/ la fonction f = uv est une primitive de sa dérivée f' = (uv)'

maintenant supposons qu'on veuille calculer l'intégrale \int_a^b g(x)dx = \int_a^b uv' (x)dx

de la formule de dérivation f' = (uv)' = u'v + uv' on déduit par linéarité que [f] = \int f' = \int (uv)' = [uv] = \int u'v + \int uv'

et [uv] et même précisément la notation [uv]_a^b désigne simplement uv(b) - uv(a) et est le calcul/la valeur de l'intégrale de la dérivée de uv entre les réels a et b

Posté par
Erw15re : intégration par parties? 03-12-22 à 18:32

Citation :
à mon avis tu ne connais pas ton cours


j'essaie de comprendre avec des informations qui me semblent parfois contraire. Je te montre l'exemple du seul exercice du cours :

Calculer l'intégrale : \int_{0}^{1}{(2x + 1})e^{x}

u(x) = 2x + 1

v(x) = e^{x}

\int_{0}^{1}{(2x + 1})e^{x} = [(2x + 1)e^{x}] - \int_{0}^{1}{2e^{x}}


= (2 * 1 + 1)e^{1} - ( 2 * 0 + 1)e^{0} - (2e^{1} - 2^e{0})


= 1 + e

On voit bien que ce qui était entre crochets n'est pas une primitive, on a simplement mis u(x) et v(x) de la fonction de départ, et on a remplacé x par 1 et 0,

donc quand je disais "l'intégrale d'une fonction", c'est à ça que je pensais, dans le cours on utilise les crochets quand il s'agit de faire l'intégrale, donc d'utiliser les primitives, et là on utilise les u et v de la fonction...

Et quand tu dis :

Citation :
pour calculer l'intégrale, il faut connaitre une primitive de f


puis

Citation :
3/ la fonction f = uv est une primitive de sa dérivée f' = (uv)'


donc on a utilisé une primitive de la dérivée, mais pas une primitive de f ,
mais ça donne le même aire... l'intégrale de la dérivée de f donne la même aire que l'intégrale de f...

Merci Sylvieg aussi, c'est sympa que vous m'aidiez

Posté par
Leilere : intégration par parties? 03-12-22 à 18:51


et si je rajoute une ligne à ton exemple est ce que c'est plus clair ?

Calculer l'intégrale : \int_{0}^{1}{(2x + 1})e^{x}

u(x) = 2x + 1

v(x) = e^{x}

\int_{0}^{1}{(2x + 1})e^{x} dx = \int_{0}^{1}{((2x + 1)e^{x})'} dx - \int_{0}^{1}{2e^{x}} dx

et  \int (uv)' = [uv]


\int_{0}^{1}{(2x + 1})e^{x} = [(2x + 1)e^{x}] - \int_{0}^{1}{2e^{x}}


= (2 * 1 + 1)e^{1} - ( 2 * 0 + 1)e^{0} - (2e^{1} - 2^e{0})


= 1 + e

tu dis : "entre crochets, ce n'est pas une primitive" ;  ce n'est pas une primitive que tu as dans le tableau des primitives, mais uv  est bien une primitive de (uv)', puisque (uv)' est une dérivée de (uv).

Posté par
Leilere : intégration par parties? 03-12-22 à 18:53

je ne faisais que passer...

Posté par
carpediemre : intégration par parties? 03-12-22 à 19:08

posons f(x) = (x + 1)e^x

pour calculer l'intégrale I = \int_a^b f(x)dx il te faut une primitive F de f ... donc une fonction F telle que F' = f

et alors I = F(b) - F(a) et la notation [F(x)]_a^b n'est qu'une notation pour désigner la différence  F(b)- F(a) et rien d'autre

maintenant je ne sais pas donner  immédiatement une primitive de f comme je pourrais le faire avec la fonction x --> x^n par exemple ...

on utilise donc une subterfuge qui s'appelle IPP

en posant u(x) = x + 1 et v'(x) = e^x alors f = uv'

mais j'ai appris que (uv)' = u'v + uv' donc j'en déduis que f = uv' = (uv)' - u'v

et trivialement :

une primitive de (uv)' est évidemment uv
une primitive de u'v est exp

en gros j'ai "transformé" / "transféré" le calcul d'une primitive que je ne sais pas faire à deux autres que je sais faire

je peux alors calculer l'intégrale demandée

Posté par
Erw15re : intégration par parties? 04-12-22 à 14:16

Merci. C'est super sympa de m'aider.

J'ai bien compris qu'on faisait le calcul de la dérivée, ce qui me pose problème c'est la différence entre ce calcul et le calcul normal d'une intégrale.

Je prend un exemple :

f(x) = x^{2}

F(x) = \frac{1}{3}x^{3}
f'(x) = 2x

Si on fait F(B) - F(A), et que b = 3 et a = 2

F(b) - F(a) = \frac{1}{3} * 3 ^{3} - \frac{1}{3} * 2 ^{3} = 9 - \frac{8}{3}

Et si on fait f(b) - f(a), puisque la primitive de f' = f :

3^{2} - 2^{2} = 9 - 4 = 5

On voit que les 2 résultats sont différents.

Posté par
carpediemre : intégration par parties? 04-12-22 à 15:06

normal puisque dans le premier cas tu calcules \int_2^3 f(x)dx et dans le deuxième cas \int_2^3 f'(x)dx

et n'oublie que dans le cas où f = uv' tu ne calcules pas [(uv)'] mais [(uv)'] - \int u'v


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !