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Intégration par parties avec deux intégrales

Posté par
DejaPris 29-04-21 à 11:57

Bonjour
J'ai dans un exercice de mathématiques une question qui me pose problème, la voici :

A l'aide de deux intégrations par parties, calculer :
I = int(-1)^2 (x^2 - 3x +1) * e^(-2x) dx

J'ai essayer quelque chose qui ne me mène pas au même résultat :
j'ai une formule : int a^b uv' dx = [uv]a^b - inta^b u'v dx
Il me faut deux intégrales, j'en déja une, j'essaie donc de "transformer" l'autre :
[uv]a^b = int a^b u'v' dx (j'ai pris les dérivées comme ca on obtient les primitives pour le calcul). Avec u =(x^2 -3x +1), u' =2x -3     et  v' =e^-2x, v=e^(-2x)/(-2)
J'ai donc un calcul de cette forme:
int(-1)^2 (2x-3)*(e^(-2x)) dx  -   int(-1)^2 (2x-3)*(e^(-2x)/(-2)) dx

J'ai fais le calcul à la calculatrice pour être sur, j'obtiens alors -22.19 alors que je devrais obtenir 11.08.
Je ne sais pas si je suis sur une bonne piste.
Je vous remercie du temps porter à mon exercice, en espérant que mon énoncé soit compréhensible.

Posté par
carpediemre : Intégration par parties avec deux intégrales 29-04-21 à 12:05

salut

il ne te faut pas deux intégrales mais il faut faire deux intégrations par parties de suite !!

peux-tu rappeler la formule de l'intégration par partie ?

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties avec deux intégrales 29-04-21 à 12:07

Dans mon cours, j'ai une formule, la voici :
int a^b u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]a^b  -  int a^b u'(x)v(x)dx

Posté par
Glapion Moderateurre : Intégration par parties avec deux intégrales 29-04-21 à 12:26

en attendant carpediem, utilise ta formule avec u = x² - 3x +1 et v' = e-2x

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties avec deux intégrales 29-04-21 à 12:45

Donc si je comprends bien, je dois seulement calculé cette intégration ?
=[x^2-3x+1*(e^-2x/-2)]-1^2 * int-1^2 (2x-3)*(e^-2x/-2)
=[(2^2-3*2+1) * (e^-2*2) - ((-1)^2-3*(-1)+1) * (e^^-2*-1)] -  [2^2-3*2 * e^-2*2 - (-1)^2-3*(-1) * e^(-2)*(-1)]

Mais je ne suis pas sur pour la deuxième intégrale (j'ai pris les primitives)je ne sais pas comment m'y prendre, j'ai l'impression d'avoir copier la première...

Posté par
carpediemre : Intégration par parties avec deux intégrales 29-04-21 à 12:51

guère lisible ... et des parenthèses manquantes ...

\int_a^b u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx

tu as donc la différence de deux termes :

le premier est un nombre que tu peux calculer (puisque a = -1 et b = 2)

le deuxième est à nouveau une intégrale à laquelle tu dois à nouveau effectuer une IPP

en choisissant toujours pour "u" le facteur polynomiale et pour "v' " l'exponentielle ...

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties avec deux intégrales 29-04-21 à 13:12

Comment faites vous pour écrire lisiblement afin que je vous partage ce que j'ai fais ?

Posté par
malou Webmasterre : Intégration par parties avec deux intégrales 29-04-21 à 13:12

Bonjour à tous,
DejaPris, peux-tu fermer ton ancien compte s'il te plaît, le multicompte n'est pas autorisé sur notre site.
Je te remercie.

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties avec deux intégrales 29-04-21 à 13:27

Je m'en excuse c'est fait

malou edit > merci !

Posté par
carpediemre : Intégration par parties avec deux intégrales 29-04-21 à 14:11

j'utilise LaTeX : voir [lien]

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties avec deux intégrales 29-04-21 à 14:22

Trop compliqué pour mon petit cerveau, puis-je vous envoyer une image ?

Posté par
malou Webmasterre : Intégration par parties avec deux intégrales 29-04-21 à 14:29

tu peux écrire avec l'éditeur Ltx , c'est facile à prendre en mains
Intégration par parties avec deux intégrales

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties avec deux intégrales 29-04-21 à 14:54

\int_{-1}^{2}{(x^2-3x+1)(e^-^2^x)} =[(x^2-3x+1)(e^-2^x)]_{-1}^{2}-[(2x-3)*\frac{e ^-2^x}{-2}]_{-1}^{2}-\int_{-1}^{2}{2e^-2^x} \\ =[(x^2-3x+1)(e^-2^x)]_{-1}^{2}-\frac{1}{2}[(2x-3)*\frac{e ^-2^x}{-2}]_{-1}^{2}-\int_{-1}^{2}{e^-2^x} \\ =\frac{2x^2e^-2^x-6xe^-2x+2e^-2^x-2xe^-2^x-3e^-2^x-e^-2^x}{-4} =[\frac{x^2-4x-1}{-2e^-2^x}]_{-1}^{2}
J'ai écris les grandes lignes, mais à la fin je ne trouves pas le même résultat que la calculatrice, je ne vois pas ce qui ne va pas...

Posté par
alb12re : Intégration par parties avec deux intégrales 30-04-21 à 09:54

salut,,

\\ \begin {aligned}   \\ \int_{-1}^2(x^2-3x+1})e^{-2x}\;\mathrm {d}x &= \left[-\dfrac12(x^2-3x+1)e^{-2x}\right]_{-1}^2+\dfrac12\int_{-1}^2(2x-3)e^{-2x}\;\mathrm {d}x \\ &=\dfrac12e^{-4}+\dfrac52e^2 +\dfrac12\left(\left[-\dfrac12(2x-3)e^{-2x}\right]_{-1}^2+\int_{-1}^2e^{-2x}\;\mathrm {d}x\right) \\ &=\dfrac12e^{-4}+\dfrac52e^2 -\dfrac14e^{-4}-\dfrac54e^2-\dfrac14 \left[e^{-2x}\right]_{-1}^2 \\ &=\dfrac12e^{-4}+\dfrac52e^2 -\dfrac14e^{-4}-\dfrac54e^2-\dfrac14e^{-4}+\dfrac14e^{2} \\ &=\dfrac32e^2 \\ \end {aligned} \\

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties avec deux intégrales 30-04-21 à 13:38

D'accord merci beaucoup de votre aide, j'ai compris où je m'étais trompé !
J'ai une autre question dans cette exercice qui me pose problème, mais elle n'a rien a voir avec la première partie, dois-je recrée un nouveau sujet ?

Posté par
alb12re : Intégration par parties avec deux intégrales 30-04-21 à 14:04

pose cette question ici si c'est dans le meme exercice

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties avec deux intégrales 30-04-21 à 14:10

Trop tard... Voulez vous que je réécrive l'énoncé ici et que je supprime mon nouveau post ?

Posté par
alb12re : Intégration par parties avec deux intégrales 30-04-21 à 14:12

non c'est en effet un exercice sans rapport avec ce fil

Posté par
carpediemre : Intégration par parties avec deux intégrales 30-04-21 à 15:20

DejaPris @ 29-04-2021 à 14:54

J'ai écris les grandes lignes, mais à la fin je ne trouves pas le même résultat que la calculatrice, je ne vois pas ce qui ne va pas...
c'est surtout un pb de méthode et de rédaction :

en étant plus rigoureux et à partir de la formule : \int_a^b u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx

posons u(x) = ... donc u'(x) = ...

et v'(x) = ...  donc v(x) = ...

et en remplaçant proprement dans la formule je suis persuadé que tu n'aurais pas tout mélangé ...

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties avec deux intégrales 01-05-21 à 14:04

Bon, j'ai pris le temps de tout réécrire au propre, et je trouve le bon résultat :
Donc pour u=x^2-3x+1, u'= 2x-3
                         v'=e^-^2^x, v=-\frac{1}{2}e^-^2^x
=[-\frac{1}{2}(x^2-3x+1)(e^-^2^x)]_{-1}^{2}+\frac{1}{2}\int_{-1}^{2}{(2x-3)(e^{-2x})} \\ =[-\frac{1}{2}(x^2-3x+1)(e^{-2x})]_{-1}^{2}+\frac{1}{2}[(2x-3)(e^{-2x})]_{-1}^{2}-\int_{-1}^{2}{-e^{-2x}} \\ =[-\frac{1}{2}(x^2-3x+1)(e^{-2x})]_{-1}^{2}+\frac{1}{2}[(2x-3)(e^{-2x})]_{-1}^{2}-\frac{1}{2}[e^{-2x}]_{-1}^{2}
Je retombe ensuite sur le calcul de alb12 !
Mon erreur lors de mon message de 14h54, c'est d'avoir oublié lorsque j'ai écrit sur LaTeX les (-)1/2, et je ne pensais jamais à utiliser certaines propriétés de l'intégrales, comme celles qui permet de "passer" le (-)1/2 devant l'intégrale.
Je vous remercie pour vos précieux conseils et aides , je me sens de plus en plus à l'aise avec les intégrations "complexes" !  



        

Posté par
carpediemre : Intégration par parties avec deux intégrales 01-05-21 à 14:26

tant mieux !!

attention à ne pas oublier les dx dans les intégrales ...

une remarque de méthode :

après avoir écrit \int_{-1}^2 (x^2 - 3x + 1)e^{-2x} dx = - \dfrac 1 2 [(x^2 - 3x + 1)e^{-2x}]_{-1}^2 + \dfrac 1 2 \int_{-1}^2(2x - 3)e^{-2x} dx

je calculerai séparément les deux termes :

le crochet proprement puis je divise par -2
l'intégrale proprement (à nouveau une IPP) puis je divise par 2

plutôt que de mener de front une seule grosse expression savoir décomposer le travail en sous-taches permet d'éviter des fautes ...

Posté par
DejaPrisre : Intégration par parties avec deux intégrales 01-05-21 à 17:59

Effectivement, j'ai oublié les dx, c'était très certainement un oublie de ma part lorsque que je recopier pour vous montrer ce que j'avais refais !
Je tiendrais compte de votre conseil, car je fais énormément de faute du à des erreurs de calculs... Cela me simplifierais la vie en plus de cela !
Je vous remercie pour votre aide !

Posté par
carpediemre : Intégration par parties avec deux intégrales 01-05-21 à 18:15

de rien


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