Bonjour,

A quoi correspond une équation de la forme :
ax + by + cz = 0

si on considère que (x,y,z) désignent les coordonnées des points dans l'espace.

Ca correspond à un plan, mais ne faut-il pas le représenter ?

Non, non. Ce n'est pas la peine de faire de dessins. L'intérprétation géométrique est juste là pour avoir une idée  derrière la tête (sinon, les équations c'est vite pénible).

Maintenant, si (x,y,z) vérifie à la fois :
ax + by + cz = 0
a'x + b'y + c'z = 0

Quelle est l'intérprétation géométrique ?

Ah et bien c'est une droite

Non. Ce n'est pas vraiment ce que j'attendais (et en plus la réponse n'est pas exacte).

si (x,y,z) vérifie à la fois :
ax + by + cz = 0
a'x + b'y + c'z = 0

Et bien je dirais alors que le point de coordonnées (x;y;z) appartient aux 2 plans

Oui, c'est ce qu'il fallait dire : l'ensemble des points qui vérifient les deux équations est l'[b]intersection[b] des deux plans.

Il y a trois possibilités pour l'ensemble des solutions :
  * les deux plans sont égaux : auquel cas l'intersection est un plan
  * les deux plans sont sécants : auquel cas l'intersection est une droite
  * les deux plans sont parallèles : auquel cas l'intersection est vide

Le point de vue géométrique est ici très pratique pour répondre à cette question.

Ah d'accord, mais je ne voit pas comment l'intersection des 2 plans pourrait etre vide ou etre un plan car les coefficients ne sont pas proportionnels et comme les coefficients des 2 plans sont differents, les 2 plans ne peuvent pas tre égaux, non ?

Non.

Si tu prends les deux plans :
x = 0
x = 1

leur intersection est vide car ils sont parallèles (deux plaques l'une au-dessus de l'autre)

Ah je vois maintenant merci.
Par contre j'ai un autre problème, il faut déterminer 2 triplets solution de (S'), mais comment les trouver avec que 2 équations ?

La plupart du temps, la solution va être une droite. Pour trouver une solution particulère on commence par fixer la valeur de x et on cherche à résoudre en y et z.

Par exemple, avec x = 0 :
y - 2z + 1 = 0
-y + 3z + 5 = 0

nous donne
y  = 2z -1
y - 3z = 5

et en remplaçant dans la seconde équation l'expression donnée par la première on obtient :
2z - 3z = 6
z = -6

on en déduit
y = -13

Donc le triplet (0,-13,-6) est solution de S'.


Tu peux trouver d'autres exemples en prenant une autre valeur pour x. Ou en fixant y ou z.

Merci, il me reste cependant une derbière question ( et déjà merci pour toute votre aide je n'aurai pas réussi seul )
quelle est l'interprétation géométrique du système (S) ? ( sachant que je ne me souviens pas avoir déjà interpréter un système de 3 équations )

C'est facile : c'est l'intersection de trois plans. Mais là il peut se passer beaucoup de choses (c'est un peu plus long de décrire les différents cas). Mais "en général" il y aura un seul point.

Et bien je vous remercie beaucoup !
Bonne soirée

Bonne soirée à toi aussi.