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Intersection droites avec plan
Bonjour pouvez vous m'aider à résoudre cet exercice svp?
OABC est un tétraédre tel que OA=OB=OC=a (a réél >0) et les 3 faces OAB,OAC et OBC sont des triangles rectangles en O.
Soit M un point du segment [OA].On pose AM=x.
Le plan passant par M et paralléle aux droites (AB) et (OC) coupe (AC),(CB) et (OB) respectivement en N,P et Q
1) Démontrer que le quadrilatère MNPQ est un rectangle.
2) Exprimer,en fonction de x, l'aire A(x) de ce rectangle.
3) Où doit-on placer M pour que l'aire du rectangle MNPQ soit maximale?
Merci d'avance.
bonjour,
1) MNPQ est un parallélogramme car:
- (MN)//(AB) vu que le plan passant par M est parallèle à (AB)
- (QP)//(AB) idem
- (MQ)//(OC) vu que le plan passant par M est parallèle à (OC)
- (NP)//(OC) idem
de plus, le produit scalaire des vecteurs MN et NP est nul car vect MN .vectNP= vect MO .(vect NP) + vect ON . vect NP
comme (MO)=(AO), (MO) est perpendiculaire à (OB) et (OC), est donc perpendiculaire au plan (OCB) et donc orthog à tte droite de ce plan, en particulier (NP)
vect MO .(vect NP)=0
comme (NP)//(OC) et (ON)perpend (OC), (NP)perpendic à (ON)
vect ON . vect NP=0
finalement vect MN .vectNP=0 et (MN)perpendic (NP) le parallélogramme MNPQ a donc un angle droit, c'est un rectangle.
2) (MN)//(AB) les triangles OMN et OAB sont semblables donc OM/OA=ON/OB=MN/AB
ceci permet d'exprimer MN
les triangles BNP et BOC sont semblables donc.........
ceci permet d'exprimer NP
A(x)=MN * NP
3) reste à dériver A(x) et à rechercher la valeur de x qui donne lieu à un maximum
Merci beaucoup pour ta réponse rapide.J'ai encore une zone d'ombre : (MN)//(AB)ok mais comment justifie t-on (QP)//(AB)?
Idem pour (NP)//(OC)?
Merci encore
le plan mené par M est parallèle à (AB) et (QP) est dans ce plan
autre manière de justif
si (QP) coupait (AB), le plan MNPQ aurait un poin commun avec (AB) et ne pourrait donc lui être parallèle
N appartient à (OB) et (OB) perpendiculaire à (OC) par hypothèse
les 3 faces OAB,OAC et OBC sont des triangles rectangles en O.
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