Inscription / Connexion Nouveau Sujet
INTERSECTION tore/plan
Bonjour,
Quel type de courbe obtient-on si l'on coupe un tore par un plan parallèle au plan frontal?
Bonjour,
En faisans quelques recherches sur internet 
tu trouveras l'équation analytique du tore.
En appelant a le grand rayon (coupe horizontale dans ton dessin) et b le petit rayon (coupe verticale), cette équation est :
(x²+y²+z²+a²-b²)² = 4a²(x²+y²)
L'équation de ton plan vertical est y = k
Tu en déduis l'équation anaytique dans un plan XZ :
(x²+z² +k²+a²-b²)² = 4a²(x²+k²)
Qu'on a envie d'écrire :
(x²+z² +k²+a²-b²)² -4a²x² = 4a²k²
A gauche on reconnait une identité remarquable.
Je te laisse continuer...
la FAQ du forum
équivalences des systèmes de niveaux scolairesQuelle équation ? ... on a tous les éléments pour faire des calculs compliqués.
Quel type de courbe ?
On voit très vite qu'il y a 3 cas.
Un tore c'est :
- le centre O
- un cercle C 'horizontal' de rayon R , de centre O
- une série de cercles 'verticaux' de rayon r , et de centre M , le point M parcours le cercle C.
Donc on s'intéresse à la distance entre le plan sécant et le point O :
* Si cette distance est supérieure à R+r, intersection vide
* Si cette distance est entre R et R+r, l'intersection ressemble à une ellipse, même si au sens strict, ce n'est pas une ellipse.
* Si cette distance est entre R-r et R, l'intersection ressemble à une publicité pour les régimes amaigrissants... une ellipse qu'on ressererait pour la faire de plus ressembler au chiffre 8.
* Si cette distance est inférieure à R-r, l'intersection ressemble à 2 ovoïdes : 2 oeufs qui se font face, les pointes des oeufs étant face à face (vers le centre)
Bonjour,
Le tore est représenté en traits épais (pleins et pointillés).
J'ai choisi de le couper par deux demi plans frontaux de traces horizontales et
pour avoir deux exemples de sections différentes.
Comme d'habitude, on utilise un plan auxiliaire. Ici un plan horizontal variable de trace frontale .
Ce plan recoupe le tore selon deux parallèles (des cercles) reportés en traits fins en projection horizontale avec les points et
.
Ces parallèles recoupent le plan en les points
et
de la section.
Lorsque le plan varie, ces deux points décrivent la courbe intersection du tore et du demi plan vertical
.
Même construction avec le demi plan .
J'ajoute ce lien où tu pourras constater l'intérêt de GeoGebra.
- Le point , mobile, "pilote le plan frontal de section.
- Le point , mobile, "pilote" le plan horizontal auxiliaire.
Bonjour Syvieg
J'ai la même chose en stock avec un plan de bout bitangent au tore --> les cercles de Villarceau. Très "joli".
Ce n'est peut-être pas judicieux de poster ici ...
Tu as fini par y arriver
Pour les cercles de Villarceau, pourquoi nous en priver ?
Ceux qui, comme moi, ont été attiré par le titre de ce post seront amateurs à mon avis.
On cherche donc l'intersection d'un plan bitangent à un tore avec ce tore. Il est ici représenté "de bout" avec sa trace frontale.
Un plan horizontal auxiliaire variable coupe le tore suivant des parallèles (les deux cercles pointillés en projection horizontale).
coupe le plan
suivant une droite de bout en vert. Sa projection frontale est réduite au point
.
Cette droite recoupe les deux cercles parallèles en 4 points courants de l'intersection cherchée.
Lorsque le plan varie, ces points décrivent deux ellipses (rouges) en projection horizontale rabattues horizontalement en magenta : les cercles de Villarceau.
Un lien : où on peut :
- Piloter le plan à l'aide du point
.
- Modifier les paramètres du tore avec les curseurs.
- Passer en mode animation (avec la flèche en bas à gauche de la fenêtre).
, vraiment magnifique
Annuler
connectez vous
Géometrie plane et dans l'espace en terminale