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Niveau terminale bac techno
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INTERSECTION tore/plan

Posté par
david1972
10-01-21 à 00:45

Bonjour,

Quel type de courbe obtient-on si l'on coupe  un tore par un plan parallèle au plan frontal?

INTERSECTION  tore/plan

Posté par
LeHibou
re : INTERSECTION tore/plan 10-01-21 à 08:32

Bonjour,

En faisans quelques recherches sur internet   tu trouveras l'équation analytique du tore.
En appelant a le grand rayon (coupe horizontale dans ton dessin) et b le petit rayon (coupe verticale), cette équation est :
(x²+y²+z²+a²-b²)² = 4a²(x²+y²)
L'équation de ton plan vertical est y = k
Tu en déduis l'équation anaytique dans un plan XZ :
(x²+z² +k²+a²-b²)² = 4a²(x²+k²)
Qu'on a envie d'écrire :
(x²+z² +k²+a²-b²)² -4a²x² = 4a²k²
A gauche on reconnait une identité remarquable.
Je te laisse continuer...

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : INTERSECTION tore/plan 10-01-21 à 10:06

Bonjour david1972,
peux-tu, s'il te plait, modifier le niveau dans ton profil, merci.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Posté par
ty59847
re : INTERSECTION tore/plan 10-01-21 à 12:23

Quelle équation ? ... on a tous les éléments pour faire des calculs compliqués.

Quel type de courbe ?
On voit très vite qu'il y a 3 cas.
Un tore c'est :
- le centre O
- un cercle C 'horizontal' de rayon R , de centre O
- une série de cercles 'verticaux' de rayon r , et de centre M ,  le point M parcours le cercle C.

Donc on s'intéresse à la distance entre le plan sécant et le point O :
* Si cette distance est supérieure à R+r, intersection vide
* Si cette distance est entre R et R+r, l'intersection ressemble à une ellipse, même si au sens strict, ce n'est pas une ellipse.
* Si cette distance est entre R-r et R, l'intersection ressemble à une publicité pour les régimes amaigrissants... une ellipse qu'on ressererait pour la faire de plus ressembler au chiffre 8.
* Si cette distance est inférieure à R-r, l'intersection ressemble à 2 ovoïdes : 2 oeufs qui se font face, les pointes des oeufs étant face à face (vers le centre)

Posté par
lake
re : INTERSECTION tore/plan 26-02-22 à 16:39

Bonjour,

  Le tore est représenté en traits épais (pleins et pointillés).

J'ai choisi de le couper par deux demi plans frontaux de traces horizontales F_1 et F_2 pour avoir deux exemples de sections différentes.

Comme d'habitude, on utilise un plan auxiliaire. Ici un plan horizontal variable de trace frontale H'_1.
Ce plan recoupe le tore selon deux parallèles (des cercles) reportés en traits fins en projection horizontale avec les points (k,k') et (l,l').

Ces parallèles recoupent le plan F_1 en les points (m,m') et (n,n') de la section.
Lorsque le plan H'_1 varie, ces deux points décrivent la courbe intersection du tore et du demi plan vertical F_1.

Même construction avec le demi plan F_2.

INTERSECTION  tore/plan

Posté par
lake
re : INTERSECTION tore/plan 26-02-22 à 17:46

J'ajoute ce lien où tu pourras constater l'intérêt de GeoGebra.

   - Le point A, mobile, "pilote le plan frontal de section.
   - Le point B, mobile, "pilote" le plan horizontal auxiliaire.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : INTERSECTION tore/plan 26-02-22 à 22:03

Posté par
lake
re : INTERSECTION tore/plan 27-02-22 à 16:10

Bonjour Syvieg

J'ai la même chose en stock avec un plan de bout bitangent au tore --> les cercles de Villarceau. Très "joli".
Ce n'est peut-être pas judicieux de poster ici ...

Posté par
lake
re : INTERSECTION tore/plan 27-02-22 à 16:19

Mince ! Désolé Silvieg !

Posté par
lake
re : INTERSECTION tore/plan 27-02-22 à 16:19

Rhooo! Sylvieg!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : INTERSECTION tore/plan 27-02-22 à 16:38

Tu as fini par y arriver
Pour les cercles de Villarceau, pourquoi nous en priver ?
Ceux qui, comme moi, ont été attiré par le titre de ce post seront amateurs à mon avis.

Posté par
lake
re : INTERSECTION tore/plan 27-02-22 à 17:23

On cherche donc l'intersection d'un plan P bitangent à un tore avec ce tore. Il est ici représenté "de bout" avec sa trace frontale.
Un plan horizontal auxiliaire variable \Pi coupe le tore suivant des parallèles (les deux cercles pointillés en projection horizontale).
\Pi coupe le plan P suivant une droite de bout en vert. Sa projection frontale est réduite au point d'.
Cette droite recoupe les deux cercles parallèles en 4 points courants de l'intersection cherchée.
Lorsque le plan \Pi varie, ces points décrivent deux ellipses (rouges) en projection horizontale rabattues horizontalement en magenta : les cercles de Villarceau.
INTERSECTION  tore/plan

Un lien :   où on peut :

   - Piloter le plan \Pi à l'aide du point m'.
   - Modifier les paramètres du tore avec les curseurs.
   - Passer en mode animation (avec la flèche en bas à gauche de la fenêtre).

Posté par
malou Webmaster
re : INTERSECTION tore/plan 27-02-22 à 17:56

Bonjour
On n'arrête pas les progrès , vraiment magnifique

Posté par
larrech
re : INTERSECTION tore/plan 27-02-22 à 18:52

Bonjour,

Oui, bravo

Posté par
lake
re : INTERSECTION tore/plan 06-03-22 à 12:30

Bonjour,

Un lien

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : INTERSECTION tore/plan 06-03-22 à 15:48

Superbe !



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