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inverse d'une isométrie

Posté par
sgu35
24-07-21 à 20:16

Bonjour,
je voudrais savoir ce que veut dire :
Toute isométrie a un inverse qui est une isométrie comme composée de réflexion
Cette phrase se trouvait dans l'énoncé suivant :

Citation :
Théorème: On note Is(P)l'ensemble des isométries du plan P. Alors(Is(P),◦) est un groupe non commutatif.
Toute isométrie a un inverse qui est une isométrie comme composée de réflexion. Par exemple, si ∆1, ∆2 et ∆3 sont des droites, l'inverse de σ∆3◦σ∆2◦σ∆1 est σ∆1◦σ∆2◦σ∆3 en effet on calcule en utilisant l'associativité et le fait qu'une réflexion est involutive :
(σ∆3◦σ∆2◦σ∆1) ◦ (σ∆1◦σ∆2◦σ∆3) = σ∆3◦σ∆2◦ (σ∆1◦σ∆1) ◦σ∆2◦σ∆3= σ∆3◦ (σ∆2◦σ∆2) ◦σ∆3= σ∆3◦σ∆3= Id

Posté par
verdurin
re : inverse d'une isométrie 24-07-21 à 21:15

Bonsoir,
Ce que tu dis est un peu bizarre : une isométrie est bijective et son inverse est, par définition, une isométrie.
symétries
Ensuite on démontre que toute isométrie du plan est la composée d'au plus trois réflexions.

Posté par
sgu35
re : inverse d'une isométrie 25-07-21 à 09:52

Citation :
Ce que tu dis est un peu bizarre : une isométrie est bijective et son inverse est, par définition, une isométrie.
symétries
Ensuite on démontre que toute isométrie du plan est la composée d'au plus trois réflexions.

Je n'ai pas compris ce que tu as écrit ce que j'ai mis en rouge

Posté par
verdurin
re : inverse d'une isométrie 25-07-21 à 19:13

C'est une erreur de ma part.

Posté par
sgu35
re : inverse d'une isométrie 25-07-21 à 21:24

OK mais ne faudrait-il pas écrire :
(σ∆3◦σ∆2◦σ∆1) ◦ (σ∆1◦σ∆2◦σ∆3)=Id.
(σ∆1◦σ∆2◦σ∆3) est donc l'inverse de (σ∆3◦σ∆2◦σ∆1), qui est une isométrie car composée de réflexions (qui sont des isométries).
Par contre, on ne sait pas a priori que l'inverse d'une isométrie est une isométrie...

Posté par
verdurin
re : inverse d'une isométrie 25-07-21 à 22:45

En supposant connu le fait que les isométries sont bijectives et donc admettent une application inverse.

Soit f une isométrie et f-1 son inverse.
On montre que f-1 est une isométrie comme suit :

Soient X et Y deux points quelconques du plan.
On pose A=f-1(X) et B=f-1(Y).

On a alors X=f(A) et Y=f(B) par définition de l'application inverse.

Comme f est une isométrie la distance entre f(A) et f(B) est égale à la distance entre A et B.
En d'autres termes la distance entre X et Y est égale à la distance entre A et B.

Ce qui peut aussi ce dire la distance entre f-1(X) et f-1(Y) est égale à la distance entre X et Y quelque soient X et Y dans le plan.

Ce qui signifie que f-1 est une isométrie.

Posté par
sgu35
re : inverse d'une isométrie 26-07-21 à 09:17

Très juste, verdurin. On en revient donc à la définition d'une isométrie.

Posté par
verdurin
re : inverse d'une isométrie 26-07-21 à 19:51

De façon générale,
si on a un ensemble de bijections d'un ensemble E dans lui même qui conservent une propriété P c'est un groupe pour la composition.

C'est même comme ça que l'on défini les différentes géométries :
par le groupe qui conserve les propriétés « intéressantes ».

Posté par
sgu35
re : inverse d'une isométrie 27-07-21 à 12:12

Citation :
C'est même comme ça que l'on défini les différentes géométries :
par le groupe qui conserve les propriétés « intéressantes ».

Qu'est ce que les différentes géométries?

Posté par
sgu35
re : inverse d'une isométrie 27-07-21 à 12:20

Citation :
conservent une propriété P

Tu veux dire que si f et g sont des bijections d'un ensemble E dans lui-même qui vérifient une propriété P et qui sont telles que f\circ g vérifie cette propriété, alors c'est un groupe pour la composition?

Posté par
verdurin
re : inverse d'une isométrie 28-07-21 à 18:03

Bonsoir,
si f et g sont des bijections d'un ensemble E dans lui-même qui conservent une propriété P alors f\circ g conserve la propriété P.
Et ces bijections forment un sous-groupe de l'ensemble des bijections de E dans E.

Si on regarde la géométrie usuelle du plan on a trois groupes particulièrement intéressants.

Le groupe des isométries conserve les distances.
Le groupe des similitudes conserve les rapports de distances, donc les angles.
Le groupe affine conserve l'alignement et, par Thalès, les rapports de distances  dans une direction donnée.

Posté par
sgu35
re : inverse d'une isométrie 28-07-21 à 18:43

Citation :
si f et g sont des bijections d'un ensemble E dans lui-même qui conservent une propriété P alors f\circ g conserve la propriété P.

Comment démontrer cette proposition?

Posté par
verdurin
re : inverse d'une isométrie 28-07-21 à 18:46

Facilement.

Posté par
lake
re : inverse d'une isométrie 28-07-21 à 21:57

Bonjour,

  

Citation :
Le groupe des similitudes conserve les rapports de distances


  d'accord. Mais ensuite, il y a beaucoup à dire :

  
Citation :
... donc les angles.


Le "donc" me parait suspect d'autant plus que tu ne précises pas de quels angles il s'agit :

  -  les angles camembert

  - les angles orientés de vecteurs

  - les angles orientés de droites

  - autres

???

Posté par
verdurin
re : inverse d'une isométrie 29-07-21 à 19:21

À lake.
Comme je n'ai pas précisé similitudes directes, il ne saurait-être question d'angles orientés.
Mais je ne doute pas de ta capacité à préciser tout ça à l'intention de sgu35.
Et en particulier de donner une définition précise des angles ( de tous types ) au niveau terminale.

Posté par
lake
re : inverse d'une isométrie 29-07-21 à 19:31

Bonsoir verdurin,

Tu me croiras si tu veux (ou pas ?), je m'adressais à sgu25 en étant persuadé, à tort, que ma citation venait de lui.

Posté par
verdurin
re : inverse d'une isométrie 29-07-21 à 20:12

À lake,
je te crois.
Et je te conseille d'apprendre à lire.
Et je trouve alors que ton message est vraiment malveillant :
     il prend de haut quelqu'un qui n'a pas accès à une définition précise des angles, et les questions posées ne sont d'aucune aide.

Pour sgu35 :
Si un triangle de côtés a, b et c est rectangle alors son image par une similitude de rapport k est un triangle de côtés ka, kb et kc.
Il est rectangle d'après le théorème de Pythagore.
Ensuite on caractérise les angles aigus par leurs sinus ou leur cosinus qui sont des rapports de longueurs.

Posté par
lake
re : inverse d'une isométrie 29-07-21 à 20:25

>> verdurin,

Laisse moi rire : c'est toi qui ose parler de malveillance avec ta citation fétiche de Schiller !

Posté par
verdurin
re : inverse d'une isométrie 30-07-21 à 21:05



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