Bonsoir,
Ce que tu dis est un peu bizarre : une isométrie est bijective et son inverse est, par définition, une isométrie.
symétries
Ensuite on démontre que toute isométrie du plan est la composée d'au plus trois réflexions.

C'est une erreur de ma part.

OK mais ne faudrait-il pas écrire :
(σ∆3◦σ∆2◦σ∆1) ◦ (σ∆1◦σ∆2◦σ∆3)=Id.
(σ∆1◦σ∆2◦σ∆3) est donc l'inverse de (σ∆3◦σ∆2◦σ∆1), qui est une isométrie car composée de réflexions (qui sont des isométries).
Par contre, on ne sait pas a priori que l'inverse d'une isométrie est une isométrie...

En supposant connu le fait que les isométries sont bijectives et donc admettent une application inverse.

Soit f une isométrie et f^-1 son inverse.
On montre que f^-1 est une isométrie comme suit :

Soient X et Y deux points quelconques du plan.
On pose A=f^-1(X) et B=f^-1(Y).

On a alors X=f(A) et Y=f(B) par définition de l'application inverse.

Comme f est une isométrie la distance entre f(A) et f(B) est égale à la distance entre A et B.
En d'autres termes la distance entre X et Y est égale à la distance entre A et B.

Ce qui peut aussi ce dire la distance entre f^-1(X) et f^-1(Y) est égale à la distance entre X et Y quelque soient X et Y dans le plan.

Ce qui signifie que f^-1 est une isométrie.

Très juste, verdurin. On en revient donc à la définition d'une isométrie.

De façon générale,
si on a un ensemble de bijections d'un ensemble E dans lui même qui conservent une propriété P c'est un groupe pour la composition.

C'est même comme ça que l'on défini les différentes géométries :
par le groupe qui conserve les propriétés « intéressantes ».

Bonsoir,
si et sont des bijections d'un ensemble E dans lui-même qui conservent une propriété P alors conserve la propriété P.
Et ces bijections forment un sous-groupe de l'ensemble des bijections de E dans E.

Si on regarde la géométrie usuelle du plan on a trois groupes particulièrement intéressants.

Le groupe des isométries conserve les distances.
Le groupe des similitudes conserve les rapports de distances, donc les angles.
Le groupe affine conserve l'alignement et, par Thalès, les rapports de distances  dans une direction donnée.

Facilement.

Bonjour,

  

À lake.
Comme je n'ai pas précisé similitudes directes, il ne saurait-être question d'angles orientés.
Mais je ne doute pas de ta capacité à préciser tout ça à l'intention de sgu35.
Et en particulier de donner une définition précise des angles ( de tous types ) au niveau terminale.

Bonsoir verdurin,

Tu me croiras si tu veux (ou pas ?), je m'adressais à sgu25 en étant persuadé, à tort, que ma citation venait de lui.

À lake,
je te crois.
_{Et je te conseille d'apprendre à lire.}
Et je trouve alors que ton message est vraiment malveillant :
     il prend de haut quelqu'un qui n'a pas accès à une définition précise des angles, et les questions posées ne sont d'aucune aide.

Pour sgu35 :
Si un triangle de côtés a, b et c est rectangle alors son image par une similitude de rapport k est un triangle de côtés ka, kb et kc.
Il est rectangle d'après le théorème de Pythagore.
Ensuite on caractérise les angles aigus par leurs sinus ou leur cosinus qui sont des rapports de longueurs.

>> verdurin,

Laisse moi rire : c'est toi qui ose parler de malveillance avec ta citation fétiche de Schiller !