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Irrationnalités de pi² et de e^s d'aprés Charles Hermite (TS).

Posté par
Never-Down 14-03-12 à 10:01

Bonjour,
Alors voilà j'ais cet exercice à faire sur les méthodes de Charles Hermite cependant, n'étant pas trés calé en étude de fonctions et d'intégrales, je rencontre des difficultés qui me bloque des le début de l'exercice.C'est pour cela que je m'adresse aux membres de l'ile des mathématiques dans le but d'obtenir des indications voir meme des éléments de réponse.Je vous remercie par avance du temps que vous me consacrerez.(Escusez moi pour les éventuelles fautes d'orthographes qui auraient put se glisser dans mon post).

Voici la premiére partie:

I) Irrationnalité de ²

1)On considére la fonction f définie par:
f(x)=(xn(1-x)n)/n! Ou n1 est un entier.

   a) Montrer qu'il existe une famille d'entiers (ci)ni2n telle que
x R, f(x)=1/n!(des cixi en partant de i=n jusqu'à 2n)
  
   b) Montrer que les réels f(k)(0) et f(k)(1) sont des entiers pour tout entier k0.

2) On supposera par la suite que ² est rationel, donc qu'il existe des entiers a>0 et b>0 tels que ²=a/b

   a) On considére la fonction définie par:

F(x)=bn(de k=0 à n)(-1)k2n-2kf(2k)(x).

Pour x réel, exprimer F''(x) en fonction de F(x) et de f(x).

   b) Soit G la fonction définie sur R par

G(x)=F'(x)sin(x)-F(x)cos(x).

Pour x réel donner une expression de G'(x) en fonction de f(x).

   c) Soit Nn le nombre réel défini par:
Nn=(de 0 à1) anf(x)sin(x)dx.

Montrer que 0<Nn<1 sin n est assez grand.

   d) Exprimer Nn en fonction de F(0) et F(1).
  
   e) Conclure.

Posté par
cailloux Correcteurre : Irrationnalités de pi² et de e^s d'aprés Charles Hermite (T 14-03-12 à 11:04

Bonjour,

1)a) f(x)=\dfrac{x^n(1-x)^n}{n!}

Le polynôme P(x)=x^n(1-x)^n est un polynôùe de degré 2n et dont le terme de plus petit exposant est x^n. Dre plus ses coefficients sont des entierts.

Donc il existe une famile d' entiers c_{i_{n\leq i\leq 2n}} terls que:

x^n(1-x)^n=\sum_{i=n}^{2n}c_ix^i

et f(x)=\dfrac{\sum_{i=n}^{2n}c_ix^i}{n!}

C' est un début...

Posté par
cailloux Correcteurre : Irrationnalités de pi² et de e^s d'aprés Charles Hermite (T 14-03-12 à 19:10

1)b)Des pistes:

Sépare les 3 cas:

Si 0\leq k<n, f^{(k)}(x) est un polynôme sans terme constant.

Donc f^{(k)}(0)=0

Si n\leq k\leq 2n, montre que f^{(k)}(0) est effectivement un entier (non nul) en te servant du a)

Si k>2n, f^{(k)}(x)=0 pour tout x et f^{(k)}(0)=0

On remarque que f(1-x)=f(x) donc que:

f^{(k)}(x)=(-1)^kf^{(k)}(1-x)

En conséquence f^{(k)}(1)=(-1)^kf^{(k)}(0) est un entier pour tout k\geq 0

2)a) F(x)=b^n\sum_{k=0}^n(-1)^k\pi^{2n-2k}f^{(2k)}(x)

F''(x)=b^n\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\pi^{2n-2k}f^{(2k+2)}(x) car f^{(2n+2)}(x)=0 pour tout x

F''(x)=b^n\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\pi^{2n-2k+2}f^{(2k)}(x) avec un changement d' indice.

F''(x)=-b^n\pi^2\sum_{k=1}^n(-1)^k\pi^{2n-2k}f^{(2k)}(x)

F''((x)=-b^n\pi^2\left[\sum_{k=0}^n(-1)^k\pi^{2n-2k}f^{(2k)}(x)-\pi^{2n}f(x)\right]

\boxed{F''(x)=-\pi^2F(x)+b^n\pi^{2n+2}f(x)} à vérifier bien sûr...

La suite plus tard, mais je trouve tout ça un tantinet fort de café en Terminale...

Posté par
cailloux Correcteurre : Irrationnalités de pi² et de e^s d'aprés Charles Hermite (T 14-03-12 à 19:26

2)b) G(x)=F'(x)\,\sin\,\pi x-\pi\,F(x)\,\cos\,\pi x

G'(x)=F''(x)\,\sin\,\pi x +\pi\,F'(x)\,\cos\,\pi x-\pi\,F'(x)\,\cos\,\pi x+\pi^2\,F(x)\,\sin\,\pi x

G'(x)=\left[F''(x)+\pi^2\,F(x)\right]\,\sin\,\pi x

\boxed{G'(x)=b_n\pi^{2n+2}\,\sin\,\pi x\,f(x)} d' après la question précédente.

Posté par
cailloux Correcteurre : Irrationnalités de pi² et de e^s d'aprés Charles Hermite (T 14-03-12 à 22:53

2)c) N_n=\pi\int_0^1a^nf(x)\,\sin\,\pi x\,\text{d}x

Sur ]0;1[, 0< f(x)<\dfrac{1}{n!}

donc 0< N_n< \pi\int_0^1\dfrac{a^n}{n!}\,\sin\,\pi x\,\text{d}x

0< N_n< \left[-\dfrac{a^n}{n!}\,\cos\,\pi x\right]_0^1

0< N_n<\dfrac{2a^n}{n!}

Or \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{2a^n}{n!}=0

Donc à partir d' un certain rang n, \dfrac{2a^n}{n!}<1

donc 0<N_n<1 à partir de ce même rang n

2)d) N_n=\pi\int_0^1a^nf(x)\,\sin\,\pi x\,\text{d}x

N_n=\pi\int_0^1\dfrac{a^n}{b^n\pi^{2n+2}}G'(x)\,\text{d}x d' après 2)b)

N_n=\dfrac{1}{\pi}\int_0^1G'(x)\,\text{d}x en tenant compte du fait que \pi^2=\dfrac{a}{b}

N_n=\left[\dfrac{1}{\pi}G(x)\right]_0^1

N_n=\dfrac{1}{\pi}\left[G(1)-G(0)\right]

N_n=\dfrac{1}{\pi}\left[\pi F(1)+\pi F(0)\right]

\boxed{N_n=F(1)+F(0)}

2)e) F(1)= \sum_{k=0}^n(-1)^ka^{n-k}b^kf^{(2k)}(1) (avec \pi^2=\dfrac{a}{b})

F(0)= \sum_{k=0}^n(-1)^ka^{n-k}b^kf^{(2k)}(0) (toujours avec \pi^2=\dfrac{a}{b})

En conséquence, d' après 1)b), F(0) et F(1) sont des entiers.

Mézalor, comment peut-on avoir 0<F(1)+F(0)<1 ?

Poste la suite dans le même topic si tu veux bien ...

Posté par
Never-Downre : Irrationnalités de pi² et de e^s d'aprés Charles Hermite (T 15-03-12 à 15:48

Merci beaucoup pour votre aide et votre attention.Je suis tout à fait d'accord avec vous lorsque vous dites

Citation :
je trouve tout ça un tantinet fort de café en Terminale...
Alors pour la seconde partie on cherche à démontrer cette fois ci l'irrationalité de es.
La voici:

II Irrationnalité de es, sQ*

Le but de cette partie est de montrer que pour tout rationel s non nul, es est irrationnel.

1) Montrer qu'il suffit de le prouver pour s Z*.

2) On se fixe donc dans ce qui suit un entier relatif s0 pour lequel es est rationnel soit es=a/b avec a>0 et b>0 des entiers.On considére la fonction F définie sur R par:

F(x)=(de k=0 à 2n) (-1)ks2n-kf(k)(x).

    a) Soit x R.Simplifier l'expression F'(x)+sF(x).
    
    b) Exprimer en fonction de f(x) le nombre [esxF(x)]'.

    c) Pour n1 entier, on pose

Nn=b(de 0 à 1) s2n+1esxf(x)dx.

Exprimer Nn en fonction de aF(1) et bF(0).

3) Montrer que si n est assez grand, alors 0<Nn<1.

4) Conclure.

Encore une fois merci beaucoup pour votre aide.

Posté par
cailloux Correcteurre : Irrationnalités de pi² et de e^s d'aprés Charles Hermite (T 15-03-12 à 23:04

1) Supposons que e^{\frac{s}{t}}=\dfrac{a}{b} où s\in\mathbb{Z}^*, t\in \mathbb{N}^* et a et b des entiers strictement positifs:

Alors, e^s=\dfrac{a^t}{b^t} est un rationnel.

Donc par contraposition:

Si e^s avec s\in\mathbb{Z}^* n' est pas rationnel, alors e^{\frac{s}{t}} ne l' est pas non plus.

La suite ressemble beaucoup au I)

2)a) F(x)=\sum_{k=0}^{2n}(-1)^ks^{2n-k}f^{(k)}(x)

F'(x)=\sum_{k=0}^{2n-1}(-1)^ks^{2n-k}f^{(k+1)}(x) car f^{(2n+1)}(x)=0 pour tout x.

F'(x)=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k-1}s^{2n-k+1}f^{(k)}(x) avec un changement d' indice.

F'(x)+sF(x)=-\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k}s^{2n-k+1}f^{(k)}(x)+\sum_{k=0}^{2n}(-1)^{k}s^{2n-k+1}f^{(k)}(x)

\boxed{F'(x)+sF(x)=s^{2n+1}f(x)}

2)b) \left[e^{sx}F(x)\right]'=se^{sx}F(x)+e^{sx}F'(x)

\boxed{\left[e^{sx}F(x)\right]'=s^{2n+1}e^{sx}f(x)}

2)c) N_n=b\int_0^1s^{2n+1}e^{sx}f(x)\,\text{d}x

N_n=b\left[e^{sx}F(x)\right]_0^1

N_n=b\left[e^sF(1)-F(0)\right]

Puis avec e^s=\dfrac{a}{b}:

\boxed{N_n=aF(1)-bF(0)}

Donc N_n est un entier.

3) A ce stade, je pense qu' il faut se limiter à s\in\mathbb{N}^* ce qui ne nuit pas à la généralité du problème car:

si s<0 et que l' on prouve que e^{-s} n' est pas rationnel, alors e^{s}=\dfrac{1}{e^{-s}} ne l' est pas non plus.

On suppose donc s\in\mathbb{N}^* et a\geq b

Sur ]0;1[, 0<f(x)<\dfrac{1}{n!}

Donc 0<N_n<\dfrac{b}{n!}\int_0^1s^{2n+1}e^{sx}\,\text{d}x

0<N_n<\dfrac{bs^{2n}}{n!}\,\left[e^{sx}\right]_0^1

0<N_n<\dfrac{bs^{2n}}{n!}\,(e^s-1)

Puis avec e^s=\dfrac{a}{b}:

0<N_n<(a-b)\,\dfrac{s^{2n}}{n!}

Or \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{s^{2n}}{n!}=0 (à prouver éventuellement ici et au I)

Donc à partir d' un certain rang n: \dfrac{s^{2n}}{n!}<\dfrac{1}{a-b}

et 0<N_n<1 à partir ce ce même rang n

4) On a toujours autant de mal à trouver un entier compris strictement entre 0 et 1...

Je serai curieux de savoir quelle est la proportion d' élèves de ta classe qui ont réussi cet exercice...

Posté par
cailloux Correcteurre : Irrationnalités de pi² et de e^s d'aprés Charles Hermite (T 15-03-12 à 23:05

Oh!! Je serais!!

Posté par
Never-Downre : Irrationnalités de pi² et de e^s d'aprés Charles Hermite (T 19-03-12 à 12:13

Merci beaucoup pour tout vous étes vraiment un boss.Quelques détails m'échappent mais je vais m'y pencher plus sérieusement mercredi.Euh, des échos que j'ais pus avoir: personne =/ sauf bien sur ce qui le font avec leur professeur particulier ^^.Bonne journée et encore merci.

Posté par
cailloux Correcteurre : Irrationnalités de pi² et de e^s d'aprés Charles Hermite (T 20-03-12 à 16:09

Hélas non! Je n' ai fait que suivre les questions posées dans un exercice.

Le boss, c' est celui qui a trouvé la méthode: en l' occurence, Monsieur Charles Hermite en personne!

N' hésite pas à poser des questions sur les "détails qui t' échappent"


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