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Isométries : composée de symétrie glissée et de rotation.

Posté par
matheux14
25-04-21 à 11:38

Bonjour ,

Merci d'avance.

Soit ABCD un losange de sens direct , de centre \text{I} tel que Mes(\vec{AB} ;\vec{AI})=\dfrac{\pi}{3}.

E est le point tel que \vec{IE}=\vec{AD} et F le projeté orthogonal de \text{I} sur (BC).

1) Soit la symétrie glissé d'axe (BD) et de vecteur \vec{BI}.

a) Déterminer les images des points A, B et I par s.

b) Préciser la nature et les éléments caractéristiques de s-1.

2) Soit f la transformation du plan définie par f = ros-1 où r est la rotation de centre B et d'angle de mesure -\dfrac{\pi}{3}.

a) Démontre que f=S_{(BC)} \circ t_{\vec{BI}}

b) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.

Réponses

1) s=S_{(BD)} \circ t_{\vec{BI}}

a) * s(A)=S_{(BD)} \circ t_{\vec{BI}}(A)

s(A)=t_{\vec{BI}}(C)=E car \vec{AD}=\vec{IE} et \vec{BC}=\vec{AD} \Rightarrow \vec{BC}=\vec{IE}.

==> IBCE est un parallélogramme.

* s(B)=S_{(BD)} \circ t_{\vec{BI}}(B)=t_{\vec{BI}}(B)=\text{I}

*  s(\text{I})=S_{(BD)} \circ t_{\vec{BI}}(\text{I})=t_{\vec{BI}}(I)=D car I est le milieu de [BD].

b) s^{-1}=(S_{(BD)} \circ t_{BI})^{-1}=S_{(BD)} \circ t_{IB}

* s-1 est une symétrie glissée d'axe (BD) et de vecteur \vec{IB}.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Isométries : composée de symétrie glissée et de rotation. 25-04-21 à 11:49

C'est bon
Tes ou == > ne sont pas toujours approprié.
Je préfère des "donc" ou des "car".

Posté par
matheux14
re : Isométries : composée de symétrie glissée et de rotation. 25-04-21 à 11:57

2-a) Je ne vois pas vraiment.

Posté par
lake
re : Isométries : composée de symétrie glissée et de rotation. 25-04-21 à 12:01

Bonjour à tous,

  Juste un petit commentaire:

  

Citation :
b) s^{-1}=(S_{(BD)} \circ t_{BI})^{-1}=S_{(BD)} \circ t_{IB}


Tu as de la chance, il y a commutativité mais c'est l'exception.  

  
Citation :
a) Démontre que f=S_{(BC)} \circ t_{\vec{BI}}


Une erreur ? Plutôt \vec{IB} ?

Posté par
matheux14
re : Isométries : composée de symétrie glissée et de rotation. 25-04-21 à 12:03

Non , c'est \vec{BI}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Isométries : composée de symétrie glissée et de rotation. 25-04-21 à 12:03

Bonjour lake
Tu peux continuer car je ne vais plus être disponible.

Posté par
lake
re : Isométries : composée de symétrie glissée et de rotation. 25-04-21 à 12:06

Je continue donc :

2)a) f=r\circ s^{-1}

tu peux décomposer r en un produit de deux symétrie axiales.
à toi de bien les choisir.

Posté par
matheux14
re : Isométries : composée de symétrie glissée et de rotation. 25-04-21 à 12:08

Oui , je vois les axes (BC) et (BD)..

Ça va.

Posté par
matheux14
re : Isométries : composée de symétrie glissée et de rotation. 25-04-21 à 12:11

2-b) f est la symétrie glissé d'axe (\Delta)=t_{-\frac{1}{2}\vec{IF}}(BC) et de vecteur \vec{FB}

Posté par
lake
re : Isométries : composée de symétrie glissée et de rotation. 25-04-21 à 12:16

J'aimerais bien que tu donnes les détails pour 2)a)

r= S_{?}\circ S_{?}

puis f=S_{?}\circ S{?}\circ s^{-1}=?

Pour la suite je ne connais pas le point F

Posté par
lake
re : Isométries : composée de symétrie glissée et de rotation. 25-04-21 à 12:37

Et j'insiste sur le deux points relevés à 12h01 :

1)   (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1} qui est en général différent de f^{-1}\circ g^{-1}

2) Tu as une erreur d'énoncé en 2)a)

Posté par
lake
re : Isométries : composée de symétrie glissée et de rotation. 25-04-21 à 12:56

J'imagine que tes notations sont les suivantes :

Isométries : composée de symétrie glissée et de rotation.

Posté par
lake
re : Isométries : composée de symétrie glissée et de rotation. 25-04-21 à 13:05

Bon, désolé, j'avais loupé ceci :

  

Citation :
et F le projeté orthogonal de \text{I} sur (BC).


Donc tout va bien

Posté par
matheux14
re : Isométries : composée de symétrie glissée et de rotation. 25-04-21 à 14:23

Merci à vous.

Posté par
lake
re : Isométries : composée de symétrie glissée et de rotation. 25-04-21 à 14:27

De rien matheux14, j'espère seulement que tu as rédigé cette question 2)b) de la "bonne manière"

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Isométries : composée de symétrie glissée et de rotation. 25-04-21 à 16:44

Une remarque après la bataille :
D'après 1), on a \; s(A) = E , \; s(B) = I \; et \; s(I) = D .
D'où \; s-1(E) = A , \; s-1(I) = B \; et \; s-1(D) =I .
Puis \; ros-1(E) = r(A) , \; ros-1(I) = r(B) \; et \; ros-1(D) = r(I) .
Or \; r(A) = C \; et \; r(B) = B .
On en déduit \; f(E) = C \; et f(I) = B .

Avec ces deux images, il était clair que l'énoncé de 2) était faux.



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