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Isométries : rotation.

Posté par
matheux14 15-04-21 à 09:15

Bonjour ,

Merci d'avance.

ABC est un triangle équilatéral de sens direct et de centre O.

On considère les points I , J et K les milieux respectifs de [BC] , [AC] et [AB] .

On pose : f=r_{\left(B; \frac{2\pi}{3} \right) }\circ r_{\left(C; \frac{2\pi}{3} \right)}.

a) Déterminer les droites ()1 et ()2 telles que : r_{\left(B; \dfrac{2\pi}{3} \right)}=S_{(\Delta)_{2}} \circ S_{(BC)} et  r_{\left(C ; \dfrac{2\pi}{3} \right)}=S_{(BC)} \circ S_{(\Delta)_{1}} .

b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f.

Réponses

a) * r_\left(B; \dfrac{2\pi}{3} \right)=S_{(\Delta)_{2}} \circ S_{(BC)}

==> (\Delta)_{2}=]r_\left(B; -\dfrac{\pi}{3} \right)[(BC)]

* r_\left(C; \dfrac{2\pi}{3} \right)=S_{(\Delta)_{BC}} \circ S_{(\Delta)_{1}}

==> (\Delta)_{1}=]r_\left(B; \dfrac{\pi}{3} \right)[(BC)]

Isométries : rotation.

2) Les droites (?1) et (?2) se coupent au point O et les vecteurs BO et CO sont des vecteurs directeurs des droites (?1) et (?2).

==> f=r_{\left(B; \dfrac{2\pi}{3} \right)} \circ r_{\left(C; \dfrac{2\pi}{3} \right)} =[S_{(\Delta)_{2}} \circ S_{(BC)}] \circ [S_{(\Delta)_{2}} \circ S_{(BC)} ]=r_{\left(O ; 2×\dfrac{2\pi}{3} \right)}=r_{\left(O ; \dfrac{4\pi}{3} \right)}

Posté par
malou Webmasterre : Isométries : rotation. 15-04-21 à 09:45

re
j'ai l'impression que tu as la même erreur que dans ton autre exercice
tu composes tes applications à l'envers
quand tu écris S_{(\Delta)_{2}} \circ S_{(BC)} tu dois commencer par S(BC) et toi tu fais le contraire si je lis bien
donc à reprendre

Posté par
mathafou Moderateurre : Isométries : rotation. 15-04-21 à 11:20

Bonjour à vous deux,

et puis (à propos de ta figure)
l'énoncé dit : un triangle ABC et son centre O

si tu crées un autre point ailleurs, tu dois l'appeler autrement que "O" !
le point que tu as baptisé O n'est certainement pas le centre du triangle équilatéral !
(I, J et K sont aussi des noms deja pris)

Posté par
matheux14re : Isométries : rotation. 16-04-21 à 00:03

a) * r_\left(B; \dfrac{2\pi}{3} \right)=S_{(\Delta)_{2}} \circ S_{(BC)}

==> (\Delta)_{2}=r_\left(B; \dfrac{\pi}{3} \right)[(BC)]=(AB)

* r_\left(C; \dfrac{2\pi}{3} \right)=S_{BC} \circ S_{(\Delta)_{1}}

==> (\Delta)_{1}=r_\left(B; -\dfrac{\pi}{3} \right)[(BC)]=(AC)

2) Pas vraiment convaincu que je dois faire comme dans mon premier poste..

Posté par
malou Webmasterre : Isométries : rotation. 16-04-21 à 09:01

oui, et maintenant tu utilises ça (simplifie l'écriture de f obtenue), pour faire la question suivante qui va être immédiate

Posté par
matheux14re : Isométries : rotation. 16-04-21 à 15:40

\large{f=r_{\left(B; \frac{2\pi}{3} \right) }\circ r_{\left(C; \frac{2\pi}{3} \right)}}=[S_{(\Delta)_{2}} \circ S_{(BC)} ]\circ [S_{(BC)} \circ S_{(\Delta)_{1}}]

Posté par
malou Webmasterre : Isométries : rotation. 16-04-21 à 15:45

matheux14 @ 16-04-2021 à 15:40

\large{f=r_{\left(B; \frac{2\pi}{3} \right) }\circ r_{\left(C; \frac{2\pi}{3} \right)}}=[S_{(\Delta)_{2}} \circ {\underbrace{S_{(BC)} ]\circ [S_{(BC)} }\circ S_{(\Delta)_{1}}]


allez....que vaut ce que j'ai mis ensemble ?

Posté par
matheux14re : Isométries : rotation. 16-04-21 à 16:04

C'est l'identité du plan.

Donc f= S_{(\Delta_{2})} \circ S_{(\Delta_{1})}=r\left(A ; \dfrac{2\pi}{3}\right)

Car d'après la question précédente , (\Delta_{1})=(AC) et (\Delta_{2})=(AB)  et ABC est un triangle équilatéral direct :

Mes(\vec{AB} ; \vec{AC})=\dfrac{\pi}{3}.

Posté par
malou Webmasterre : Isométries : rotation. 16-04-21 à 16:32

donc tu arrives à

f= S_{(AB)} \circ S_{(AC)}

il vaut mieux les appeler par leurs noms, c'est plus facile

mais cela ne fait pas ce que tu dis au niveau angle

Posté par
matheux14re : Isométries : rotation. 16-04-21 à 17:39

Donc f= S_{(\Delta_{2})} \circ S_{(\Delta_{1})}=r\left(A ; -\dfrac{2\pi}{3}\right)

Car d'après la question précédente , (\Delta_{1})=(AC) et (\Delta_{2})=(AB)  et ABC est un triangle équilatéral direct :

Mes(\vec{AC} ; \vec{AB})=-\dfrac{2\pi}{3}.

Donc f= S_{(AB)} \circ S_{(AC)}=r\left(A ; -\dfrac{2\pi}{3}\right).

Posté par
malou Webmasterre : Isométries : rotation. 16-04-21 à 17:50

oui, voilà

Posté par
matheux14re : Isométries : rotation. 16-04-21 à 17:52

Merci

Posté par
mathafou Moderateurre : Isométries : rotation. 16-04-21 à 18:19

une petite erreur (de frappe ?)

Mes(\vec{AC} ; \vec{AB})={\red-\dfrac{\pi}{3}} (pas -2pi/3)

et l'angle de la rotation est {\red 2}Mes(\vec{AC} ; \vec{AB}) = -\dfrac{2\pi}{3}

Posté par
matheux14re : Isométries : rotation. 16-04-21 à 18:32

Désolé , c'est une erreur de frappe..

Merci.

Posté par
malou Webmasterre : Isométries : rotation. 16-04-21 à 18:43

oui, en lisant en "diagonale", je ne l'avais pas vue
Bonne soirée


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