Niveau Reprise d'études

Isomorphisme anneaux quotients de polynômes.

Posté par
manu_du_40 25-10-20 à 13:56

Bonjour,

en cours d'algèbre, nous avons construit l'ensemble $\mathbb{C}$ en disant qu'il était isomorphe à l'anneau quotient $\mathbb{R}[X]/(X^2+1)$ .

J'ai un peu de mal à visualiser cet isomorphisme.
Je sais que si on a un morphisme de groupes $\phi$ de G dans G', alors on peut construire un isomorphisme de $G/Ker(\phi)$ dans $Im(\phi)$ .

Mais ici, la définition de $\mathbb{C}$ ne parle pas d'isomorphisme donc je ne sais pas s'il y a un rapport avec ce théorème...

Si je note $\phi$ l'application de $R[X]$ dans $\mathbb{C}$ qui à un polynôme P associe le nombre complexe P(i), j'ai bien un morphisme dont le noyau est l'idéal engendré par le polynôme $X^2+1$ .
Donc si je quotiente $R[X]$ par cet idéal, j'ai bien une injection de $\psi$ de $R[X]/X^2+1$ dans $\mathbb{C}$ avec $\psi o \pi = \phi$
( $\pi$ est la surjection canonique de R[X] dans $R[X]/(X^2+1)$ ).

Mais pour avoir un isomorphisme, il faudrait donc que $Im(\phi)=\mathbb{C}$ ce qui ne me semble pas du tout évident (à part bien sûr l'inclusion $Im(\phi) \subset\mathbb{C}$ )

Si quelqu'un pouvait m'éclairer là dessus, je lui en serais reconnaissant.
Manu

Posté par re : Isomorphisme anneaux quotients de polynômes. 25-10-20 à 15:26

Bonjour,
Sur quoi s'envoient les a+bX?

Posté par re : Isomorphisme anneaux quotients de polynômes. 25-10-20 à 15:40

Sur $\mathbb{C}$ !
Donc tout nombre complexe a pour antécédent un polynôme de degré 1. Et en effet, $\phi$ est surjective.
Je ne voyais pas ça aussi simple.

Merci mokassin

Posté par re : Isomorphisme anneaux quotients de polynômes. 25-10-20 à 16:08

Bonjour manu_du_40,

Maintenant, si tu veux mieux "voir" l'idée de cette construction autrement qu'à travers ces morphismes un peu barbares, dis-toi que quotienter un anneau par un idéal, c'est rendre nuls, dans le quotient, les éléments du dit idéal.
Donc dans le quotient [X]/(X²+1), X²+1=0 (en notant encore 0 la classe du polynôme nul), donc X²=-1 et on a bien fabriqué exactement ce qu'il fallait pour qu'un élément (ici X, mais on va se dépêcher de l'appeler i) soit de carré -1.

Posté par re : Isomorphisme anneaux quotients de polynômes. 25-10-20 à 16:15

Bonjour boninmi.

Oui oui j'ai bien compris le principe du quotient d'anneau par un idéal (on rend équivalents tous les éléments de R[X] tels que P-Q soit dans l'idéal).
Ce qui fait que lorsque l'on quotiente par un Ker, on réduit ce Ker à la classe d'équivalence $\dot{0}$ et on rend l'application artificiellement injective.

G. Bailly-Maître explique ça super bien d'ailleurs sur sa chaîne Youtube :
.

Mais j'ai toujours beaucoup plus de mal à prouver la surjectivité que l'injectivité et les astuces du genre celles que m'a donné mokassin ne me viennent pas encore naturellement.