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Isomorphisme d anneaux
bonjour a tous et bonne année!
je travaille sur la théorie des anneaux, j ai f un iso d anneaux de A sur B avec A et B deux anneaux,
comme f est un morphisme, f(1A)=1B avec 1A l element neutre de A et 1B celui de B
comme f est bijectif, f(OA) = OB avec OA l element nul de A et OB celui de B
C 'est ca?
et donc si U(A) est l ensembles des elemnts inversibles on a alors f(U(A))=U(B), comme j ai un douteest ce que quelqu un peut me confirmer ces resultats svp?
Merci !
Salut, 
comme f est bijectif, f(OA) = OB avec OA l element nul de A et OB celui de B
Je vois vraiment pas le rapport.
Quant au résultat d'après, il me semble que c'est vrai. (procède par double inclusion, tu verras!).
Ayoub.
déjà merci de t etre penché sur mon cas!!!
comme f est bijectif, il est injectif alors ker f = OA, ah oui je mes usi trompée, ca ne veut pas dire que OA est envoyé sur OB !!!
mais
je pensais à ca:
f(1A)= f(1A + 0A) = f(1A) + f(0A)
donc f(0A) = 0
mais ce zéro c est le nul de qui?
que penses tu de mon raisonnement?
Ce que je voulais dire, c'est que ça n'a rien à voir avec la bijectivité. Par définition, tout morphisme envoie 0A sur 0B.
f(1A)= f(1A + 0A) = f(1A) + f(0A)
donc f(0A) = 0
mais ce zéro c est le nul de qui?
Ben de B, évidemment.
d accord, en effet, ce n est pas par bijectivité mais par le fait que f est un morphisme,
par contre, j ai un exercice, et je n arrive pa à comprendre comment est defini mon morphisme f et vu qu il faut que je montre que c est un morphisme cela va etre delicat si je ne sais pas comment il est défini!
j ai essayé avec des cas particuliers, masi ça ne marche pas c est donc bien que je ne vois pas la subtilité de sa definition, je peux te montrer?
ok,on considere deux entiers n1,n2 
2 premiers entre eux et n=n1n2
on a les anneaux A1= Z/n1Z et A2=Z/A2Z
on note x[n] la classe de x modulo n resp n1 n2
f est definie de la facon suivante
f: Z/nZ
A1xA2
x[n]
(x[n1],x[n2])
je dois montrer que c est un morphisme d anneaux
Effectivement, tu dois commencer par montrer que c'est bien défini. Il faut montrer que f(x) ne dépend pas du choix du représentant x dans sa classe modulo n.
Ceci revient à montrer que
x
x'implique.gif)
xx' (mod n1) et xx' (mod n2).
Ceci est le seul point délicat.
Vérifier que c'est un morphisme est entiérement formel.
xok! ca ca marche parce que n1 et n2 sont premiers entre eux, non?
s ils ne l etaient pas,il y aurait un souci non?
ok, merci bien c sympa!!! et merci pour l autre topic aussi !!! lol
mais ici, pour savoir, si n1 et n2 n etaient pas premiers, f n est pas défini alors?
Non, c'est si n n'est pas égal au produit que ce n'est pas bien défini. Prends n1=4, n2=9 et n=6. Regarde que deviennent x=1 et x=7 qui pourtant sont congrus modulo 6. Le fait qu'ils soient premiers entre eux, servira quand on te demandera de montrer que c'est un isomorphisme.
J ai à nouveau besoin de toi: pour montrer que c est un morphisme, j ai un doute sur le produit, ai je le droit d ecrire
f(xy [n])= (xy [n1], xy [n2])
= (x[n1],x[n2).(y[n1],y[n2])
= f( x [n]) f( y [n])
? a mon avis, c est trop evident pour être juste!
Ce n'est pas parceque c'est facile que c'est faux! Bien sûr que c'est ça... Tu vérifies aussi pour l'addition n'est-ce pas?
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