bonjour a tous et bonne année!
je travaille sur la théorie des anneaux, j ai f un iso d anneaux de A sur B avec A et B deux anneaux,
comme f est un morphisme, f(1A)=1B avec 1A l element neutre de A et 1B celui de B
comme f est bijectif, f(OA) = OB avec OA l element nul de A et OB celui de B
C 'est ca?
et donc si U(A) est l ensembles des elemnts inversibles on a alors f(U(A))=U(B), comme j ai un douteest ce que quelqu un peut me confirmer ces resultats svp?
Merci !
Salut,
déjà merci de t etre penché sur mon cas!!!
comme f est bijectif, il est injectif alors ker f = OA, ah oui je mes usi trompée, ca ne veut pas dire que OA est envoyé sur OB !!!
mais
je pensais à ca:
f(1A)= f(1A + 0A) = f(1A) + f(0A)
donc f(0A) = 0
mais ce zéro c est le nul de qui?
que penses tu de mon raisonnement?
Ce que je voulais dire, c'est que ça n'a rien à voir avec la bijectivité. Par définition, tout morphisme envoie 0A sur 0B.
d accord, en effet, ce n est pas par bijectivité mais par le fait que f est un morphisme,
par contre, j ai un exercice, et je n arrive pa à comprendre comment est defini mon morphisme f et vu qu il faut que je montre que c est un morphisme cela va etre delicat si je ne sais pas comment il est défini!
j ai essayé avec des cas particuliers, masi ça ne marche pas c est donc bien que je ne vois pas la subtilité de sa definition, je peux te montrer?
ok,on considere deux entiers n1,n2 2 premiers entre eux et n=n1n2
on a les anneaux A1= Z/n1Z et A2=Z/A2Z
on note x[n] la classe de x modulo n resp n1 n2
f est definie de la facon suivante
f: Z/nZA1xA2
x[n](x[n1],x[n2])
je dois montrer que c est un morphisme d anneaux
Effectivement, tu dois commencer par montrer que c'est bien défini. Il faut montrer que f(x) ne dépend pas du choix du représentant x dans sa classe modulo n.
Ceci revient à montrer que
xx'
x
x' (mod n1) et x
x' (mod n2).
Ceci est le seul point délicat.
Vérifier que c'est un morphisme est entiérement formel.
ok! ca ca marche parce que n1 et n2 sont premiers entre eux, non?
s ils ne l etaient pas,il y aurait un souci non?
ok, merci bien c sympa!!! et merci pour l autre topic aussi !!! lol
mais ici, pour savoir, si n1 et n2 n etaient pas premiers, f n est pas défini alors?
Non, c'est si n n'est pas égal au produit que ce n'est pas bien défini. Prends n1=4, n2=9 et n=6. Regarde que deviennent x=1 et x=7 qui pourtant sont congrus modulo 6. Le fait qu'ils soient premiers entre eux, servira quand on te demandera de montrer que c'est un isomorphisme.
J ai à nouveau besoin de toi: pour montrer que c est un morphisme, j ai un doute sur le produit, ai je le droit d ecrire
f(xy [n])= (xy [n1], xy [n2])
= (x[n1],x[n2).(y[n1],y[n2])
= f( x [n]) f( y [n])
? a mon avis, c est trop evident pour être juste!
Ce n'est pas parceque c'est facile que c'est faux! Bien sûr que c'est ça... Tu vérifies aussi pour l'addition n'est-ce pas?
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