Bones un jour, bones toujours!

I)a)
On sait que:



Or:


De plus, dans un triangle équilatéral de côté a, la hauteur vaut a3/2.

Donc, ici:


Et, finalement:


I)b)
Notons H le projeté orthogonal de J sur BI.

On sait que:


Donc:


Et, donc:


Finalement:


Or, BIJ est un triangle rectangle en J. Grâce au théorème de Pythagore, on obtient:


Donc:


Ainsi:


On sait que (CI) est perpendiculaire à (IB) (car ABC est équilatéral).
On sait également que (JH) est perpendiculaire à (IB) (car H est le projeté orthogonal de J sur (IB)).
Ainsi, dans le triangle BIC, j'applique le héorème de Thalès:


Donc:


II)a)

Dans le triangle ABD, (LI) est la droite des milieux donc:
(LI) // (BD) et 2LI=BD

Dans le triangle CBD, (JK) est la droite des milieux donc:
(JK) // (BD) et 2JK=BD

Donc:
(JK) // (IL) et JK=IL

Ainsi, IJKL est un parallélogramme.

II)b)
On sait que l'image d'une droite (d) par rapport à un point est une droite parallèle à (d).
Appelons r la symétrie de centre S.

(OI) est perpendiculaire à (AB); en effet, c'est la médiatrice de [AB] (car O et I sont équidistants de A et B).
Comme IJKL est un parallélogramme, l'image de I par r est K. Donc l'image de (OI) par r est la perpendiculaire à (AB) passant par K; c'est à dire d3.

(OL) est perpendiculaire à (AD); en effet, c'est la médiatrice de [AD] (car O et L sont équidistants de A et D).
Comme IJKL est un parallélogramme, l'image de L par r est J. Donc l'image de (OL) par r est la perpendiculaire à (AD) passant par J; c'est à dire d2.

(OK) est perpendiculaire à (DC); en effet, c'est la médiatrice de [DC] (car O et K sont équidistants de D et C).
Comme IJKL est un parallélogramme, l'image de K par r est I. Donc l'image de (OK) par r est la perpendiculaire à (DC) passant par I; c'est à dire d1.

(OJ) est perpendiculaire à (BC); en effet, c'est la médiatrice de [BC] (car O et J sont équidistants de B et C).
Comme IJKL est un parallélogramme, l'image de J par r est L. Donc l'image de (OJ) par r est la perpendiculaire à (BC) passant par L; c'est à dire d4.

Donc l'image de 0 par r appartient aux droites d1, d2, d3 et d4; elles sont donc concourrantes.


Cet exercice est de niveau 3^ème

Bonjour thiblepri

Scream précisait "Vite!" le 2 Novembre 2001! Alors, mieux vaut tard que jamais!
Mais je trouve que c'est bien qu'il ne reste pas des questions sans réponse sur le site!

Salut Camélia,
Je me suis juste mis en mode "bones" pour quelques temps
_{vieux motards que jamais... Ok je sors}